0 引言非圆齿轮在解决变速比传动方面具有结构紧凑、刚度好、满足较高速度运转、寿命长等诸多优点。随着现代化设计方法和分析工具的引入，非圆齿轮的设计难题得到了较好解决，其应用领域正在逐步拓展，从农业机械、自动化设备、液压马达等经典应用领域，逐步拓展到机器人、连铸机、变速器等新兴领域[1-3]。关于非圆齿轮及其衍生机构的创新开发正成为研究热点之一[4-6]。由于形状的非圆多样性及齿廓复杂性，非圆齿轮的高效率、高精度、高柔性、批量化制造问题仍是制约其发展的瓶颈。当前非圆齿轮的制造手段仍以基于齿廓矢量图形的仿形法制造为主，基于展成包络原理的制齿方法还未得到广泛应用[7]。滚齿是当前齿轮制造领域的重要方法，在非圆齿轮制造实现方面具有较大的开发潜力，适用于直/斜齿、不同节曲线形状非圆齿轮的制造，长期以来得到了诸多学者的关注。Litvin等[8]研究了不同类型刀具与非圆齿轮的基本运动关系模型，对展成加工基本原理开展论证并获取了齿面模型；谭伟明等[9]26-29从滚刀节曲线和非圆节曲线的纯滚动条件出发，提出了滚切运动实现的最简3轴联动数学模型，并通过图形仿真方法演示了齿形的生成过程；胡赤兵等[10]分析了传统滚齿机不适合加工斜齿非圆齿轮的因素，提出了适用于非圆斜齿轮滚切的4轴联动滚切方案，并研究了联动运动实现的控制原理；刘有余等[11]以5轴联动滚切所产生各轴速度、加速度动态性能为改善目标，研究了非圆斜齿轮滚切联动模型的优化遴选问题，得到了等弧长齿坯附加转动和等弧长滚刀附加转动两种最优加工模型；田晓青等[12-13]研究了变速比柔性电子齿轮箱的设计，以及其在加工非圆齿轮方面的应用问题；Wu等[14]5173-5178基于柔性电子齿轮箱开展了连续展成滚齿的插补及加工实验测试。这些研究关注了非圆齿轮滚切的原理性和实现性，为滚切的数控化奠定了技术基础。制造精度问题是滚切法制齿所面临的关键问题，刀具与工件的安装误差、各轴运动误差、滚刀几何误差、机床振动和加工原理误差均会对制造误差产生映射[15]，通过计算仿真法对制齿误差进行预测并开展补偿是研究滚切误差的重要手段[16]。对非圆齿轮而言，节曲线各位置的曲率半径存在差异，滚刀节曲线相对非圆节曲线的运动又具有非线性特征，这将导致节曲线不同位置的齿廓具有不同的包络误差，该包络误差与非圆齿轮的设计参数、滚切运动模型、制造工艺参数存在重要关联，研究该误差的形成、分布特点和改善方法，对提高非圆齿轮滚切精度具有重要意义。1 滚切包络齿廓的几何仿真1.1　滚切基本运动模型非圆齿轮滚切加工过程的基本运动模型，是建立在滚刀在齿坯端面投影齿条中线与非圆齿轮节曲线的纯滚动关系基础上的。直齿非圆齿轮滚切过程中，滚刀沿齿轮轴线方向的进给运动，与齿坯和滚刀的联动运动相互独立，滚刀回转B轴、齿坯回转C轴和滚刀相对滚刀的移动X轴，在非圆节曲线所约束的数学模型下保持非线性联动关系。滚刀和齿坯的运动如图1所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.F001图1非圆齿轮滚切运动模型Fig. 1Hobbing motion model of non-circular gears定义滚刀转速为ωB、齿坯转速为ωC、滚刀相对齿坯移动速度为vX，将ωC、vX表达为关于ωB的数学方程式，即得到非圆齿轮进行滚切运动的基本运动模型[9]27[17]为ωC=r2+(dr/dφ)2r2*Tm2ωBKCvX=dr/dφr*Tm2ωB （1）式中，T为滚刀头数；m为模数；r为极径；φ为极角；KC为符号系数，右旋滚刀取1，左旋滚刀取-1。该模型为滚刀恒转速滚切方案，基于该模型可进行主从式变速比电子齿轮箱的传动模型搭建。对于实际滚切而言，滚刀负载工况复杂，位置精度不易控制，通常将滚刀回转轴作为电子齿轮箱的主动轴，并进行恒转速控制。1.2　滚切齿廓的等效几何包络滚刀的外形可看作沿滚刀回转轴线方向的单排刀齿沿螺旋线方向的周向排布，加工过程具有断续切削特点。为了实现该断续切削的等效模拟，本文将滚刀连续回转产生的断续切削行为等效为齿条插刀的断续插削行为。由滚刀容屑槽将滚刀划分出K排切削齿，设第Ⅰ排齿处于切削状态，当滚刀转过角度2π/K rad时，第Ⅱ排齿将处于当前第Ⅰ排齿的位置。对于第Ⅰ排齿和第Ⅱ排齿所等效的齿条插刀，可视为齿条插刀的平移量，为πm/K mm。根据该等效关系，可采用齿条插刀与齿坯的仿真切削过程，近似研究滚切过程中滚刀每排切削刃所形成的齿面包络线，并据此分析判断不同位置的齿面精度特性。仿真过程所用齿条插刀和齿坯运动数据的计算，以滚刀每转过2π/K rad角度为计算步长，逐次计算齿坯角位移增量、齿条沿其中线垂直方向的位移增量，以及齿条沿其中线方向的位移增量，并得到整周滚切仿真的位移量数据。为了求解齿条与齿坯的位移量关系模型，需建立齿条插刀中线与非圆节曲线的纯滚动模型。从纯滚动的角度看待非圆齿轮的滚切运动时，可以认为：齿条中线在Y轴方向的位移量l、在X轴方向的位移量s以及齿坯在C轴方向的位移量θ具有确定的数学函数关系，因为这是纯滚动发生的基本前提。齿条中线与非圆节曲线的纯滚动关系如图2所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.F002图2齿条中线与非圆节曲线的纯滚动模型Fig. 2Pure rolling model of rack centerline and non-circular pitch curves非圆节曲线与齿条中线初始相切于点A，从点A纯滚动至点B。在该过程中，非圆节曲线的转角位移量为θ；齿条中线在X轴和Y轴方向的位移量分别为s和l；非圆节曲线在点A对应的极径、极角和极切角分别为r0、φ0和μ0；在点B对应的极径、极角和极切角分别为r、φ和μ。非圆节曲线和齿条中线的位移量求解公式分别为θ=φ+μ-φ0-μ0l=∫φ0φr2+(dr/dφ)2dφ-rcosμs=rsinμ-r0 （2）式中，参数l可以与滚刀圆周相邻两排齿的切换建立联系，当滚刀转过1排齿时，可以理解为参数l的数值变化量为πm/K mm，记为ΔL。由于参数θ、s和l之间无显式函数关系，采用对极角进行离散取值获取N个φi，i=1，2，…，N；然后计算对应的N组θi、si和li，此时可用插值或拟合的数值方法，建立θ、s关于l的函数关系θ（l）和s（l）；基于所构建的函数关系，让l以ΔL为步长递增，可计算出滚刀每转过1排齿所等效对应的齿条插刀和齿坯的位移量Δsi和Δθi。通常N取300以上，在各轴位移量计算中可获得10-6 mm和10-6 rad量级的计算精度。在获取等效齿条插刀和非圆齿坯步进运动数据的基础上，构建刀具和齿坯的数字模型，采用布尔几何运算开展齿廓的可视化包络加工。选取一椭圆齿轮为例进行仿真，刀具和工件的参数如表1所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.T001表1非圆齿轮及滚刀参数Tab. 1Non-circular gears and hob parameters参数数值非圆齿轮齿数21模数/mm4节曲线椭圆偏心率0.4滚刀头数1开槽数12该椭圆齿轮端面齿形的可视化形成过程如图3所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.F003图3等效齿条插刀的可视化齿廓成形Fig. 3Visualized profile forming of the equivalent rack slotting cutter以上仿真过程的流程图如图4所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.F004图4基于等效齿条的切齿仿真流程Fig. 4Flow chart of tooth cutting simulation based on the equivalent rack1.3　包络线的分布特征在齿廓的可视化成形过程中，取消齿条刀具与齿坯的布尔几何运算，则可得到齿条插刀在整周节曲线上的包络轨迹。上述包络所产生的椭圆齿轮在长、短轴位置的齿廓包络轨迹如图5所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.F005图5齿条插刀在长、短轴位置的包络轨迹Fig. 5Envelope trajectory of the rack cutter at the position of the long and short axes椭圆齿轮在长轴位置的齿廓包络线密度明显密于短轴位置，则长轴附近的齿廓相比短轴附近具有更高的加工精度，但这两个位置的曲率半径一致。为量化分析各齿廓的包络线分布，这里引入齿廓形成特征点的概念。包络过程的局部放大示意图如图6所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.F006图6齿廓形成特征点的定义Fig. 6Definition of characteristic points of the tooth profile formation图6中齿条插刀齿廓与齿坯外轮齿的交点为P1，插刀齿廓相邻两次切削位置的齿廓交点P2~P6形成啮合部齿廓，插刀齿顶圆角相邻两次切削位置的齿廓交点P7~P10形成齿根部，这里将这三类点统称为非圆齿轮的滚切齿廓形成特征点。基于仿真产生的齿廓矢量图形对各齿槽的齿廓形成特征点数量N进行统计提取。为了分析节曲线不同位置齿廓形成特征点数量与极径、节曲线曲率半径的综合关系，将这三者的变化趋势以极角为自变量表达在1个图形中，如图7所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.F007图7齿廓特征点数量与极径、曲率半径的分布关系Fig. 7Distribution relationship between the number of tooth profile feature points and the polar diameter and the curvature radius通过对图7所示椭圆齿轮节曲线极径、节曲线曲率半径、构成各齿槽齿廓的齿廓形成特征点数量的对比分析，得到如下结论：①齿面包络线密度与节曲线极径大小成正相关关系。在极径大的位置包络线稠密，极径小的位置包络线稀疏；齿廓形成特征点的分布数量之比约等于极径的长度之比。②节曲线不同位置的曲率半径与包络线密度分布无明显关联。例如，该椭圆齿轮在极角0°和180°位置具有相同的曲率半径，但齿面包络线分布存在较大差异。2 包络误差的计算方法研究2.1　当量齿轮与当量滚刀非圆齿轮的理论齿廓是由各齿廓形成特征点首尾相连所构成的多段线的相切曲线，切点存在于两相邻齿廓形成特征点的相连线段上。多段线与理论齿廓的关系如图8所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.F008图8多段线包络形成理论齿廓Fig. 8Theoretical tooth profile formed by polyline envelope理论齿廓分别与线段UV和VW相切，多段线UVW为滚切产生的实际齿廓。齿廓包络误差定义为特征点到理论齿廓的最近距离。非圆齿轮的各个齿廓具有相异性，在评价特征点到理论齿廓的逼近误差时，难以选取合适的分析对象。采用当量齿轮概念，对非圆齿轮的齿廓包络误差进行分析。非圆齿轮等模数、变曲率半径、变极径的特殊性，导致其包络误差的分布不仅与其设计参数有关，还与滚切联动模型有关。在由曲率半径定义齿数为zd的当量圆齿轮基础上，在节曲线不同位置定义当量滚刀槽数Kd，该方法可综合考虑滚切联动模型、节曲线极径、节曲线曲率半径、滚刀参数的影响因素。当量齿数计算如图9所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.F009图9当量参数计算Fig. 9Calculation of equivalent parameters当滚刀旋转过1排齿，所对应虚拟齿条在其节线方向产生位移量ΔL，非圆节曲线发生的弧长变化量为Δs。则zd和Kd的计算公式分别为zd=2ρ/mKd=πm/ΔsΔs=πm/K mm+r1cosμ1-rcosμ （3）式中，极角φ位置对应极径r、曲率半径ρ和极切角μ；极角φ1位置对应极径r1和极切角μ1。以表1所定义参数，计算得到的在滚切该椭圆齿轮过程中，各位置的当量齿轮齿数和当量滚刀槽数如图10所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.F010图10zd与Kd计算例Fig. 10Calculation example of zd and Kd由图10可知，对于椭圆齿轮，其长、短轴位置在当量齿轮齿数一致的情况下，滚刀的当量齿槽数差了约2.5倍。相当于在长轴位置，单个齿廓的切削次数约是短轴位置的2.5倍；同时，该比例关系与图7所示滚切仿真所得到的齿面特征点数量的比例关系相吻合，证明了文中所提当量滚刀槽数的合理性。在节曲线不同位置具有不同当量滚刀槽数的几何解释，可以从图3和式（2）中进行理解，这是由在滚刀匀速旋转情况下，投影齿条单位时间内在非圆节曲线上对滚过的弧长不恒定所导致的。2.2　包络误差的数学建模采用相邻两次包络对齿廓特征点的坐标进行解析。第一次包络、第二次包络示意图分别如图11、图12所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.F011图11第一次包络位置Fig. 11The first envelope position10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.F012图12第二次包络位置Fig. 12The second envelope position如图11所示，在坐标系xOy中，一当量齿轮的齿槽中线与y轴重合，其节径r=mzd/2。设非圆齿轮齿顶高系数为ha，节曲线上的啮合角为α，则图示齿顶圆半径ra=r+ha*m，齿根圆半径rb=rcos α。点A1是齿槽的右顶点，也是齿条齿廓S1与齿槽右侧齿廓的切点，这里可以理解为齿条齿廓和齿槽的啮入点。齿条中线L1与节圆相切于点B1，过点A1的齿廓法线与基圆相切于点C1。得齿廓S1的方程为y=k1x+xA1-k1yA1k1=tan(π/2 rad-g1-g2)g1=0.5π/zd rad-inv g2+inv αg2=arccos(rb/ra) （4）如图12所示，齿条齿廓S1和节线L1运动到第二包络位置时，变为S2和节线L2，点A1变为点A2，L2与节圆的切点为点B2。设在节线L1上，在第二包络位置与节圆相切的点为B11，点B1到B11的距离为Δs，L2相对L1转过角度Δg，则Δs和Δg的计算公式分别为Δs=πm/KdΔg=πm/（Kdr） rad （5）根据齿条节线相对齿轮节圆的纯滚动条件及平面运动数学原理，点A2和B2均可由点A1和B11绕点B1旋转角度Δg，并平移[Δx，Δy]得到。设x轴到节线L1的夹角为g3，点B11绕点B1旋转Δg后得到点B12，该点的坐标为[xB12,yB12]=[xB1,yB1]+[Δscos g3,Δssin g3]∙        cosΔgsinΔg-sinΔgcosΔgg3=α-g1-g2+π rad （6）设x轴与OB1的夹角为g4，由OB1与L1的垂直关系得g4=arctan（-1/tan g3），则得[Δx，Δy]的计算公式为[Δx,Δy]=[xB2,yB2]-[xB12,yB12][xB2,yB2]=[rcos(g4+Δg),rsin(g4+Δg)] （7）设点A1绕点B1旋转角度Δg后得到点A12，点A1到点B1的距离为s1，x轴与直线A1B1的夹角为g5，点A12的坐标为[xA12,yA12]=[xB1,yB1]+[s1cos g5,s1sin g5]∙      cosΔgsinΔg-sinΔgcosΔgg5=arctanyB1-yA1xB1-xA1 （8）然后，第二次包络位置齿条齿廓S2的方程为y=kS2x+xA2-kS2yA2kS2=tan(π/2 rad-g1-g2+Δg)[xA2,yA2]=[xA12,yA12]+[Δx,Δy] （9）至此，可根据式（4）和式（9）求出齿条齿廓第一次包络、第二次包络位置的交点P12。依次类推，可求解后续相邻两次包络位置的齿廓特征点，直到啮合脱离。齿条脱啮位置可通过后一次包络时的齿顶点Cn与前一次包络的齿条齿廓Sn-1的位置关系进行判断，当Cn首次出现在Sn-1的左边时，表明齿条与齿轮已脱啮。例如，图12中点C2与S1的位置关系，可通过点C1、点C2、点A1依次连接所构成的三角形的顺逆时针方向进行判断，可知△C1C2A1的方向性为逆时针，则表明C2位于S1的右侧，齿条与齿轮尚未脱离啮合。在计算获取齿廓特征点的基础上，可开展包络误差分析。图11所示啮合部齿廓上某点坐标（x1，y1）可表达为关于该点的压力角α1的函数，即x1=rb/cosα1sin(inv α1+Δθ)y1=rb/cosα1cos(inv α1+Δθ)α1∈[0,g2]     ；   Δθ=g1-inv g2   （10）设某一齿廓特征点的坐标为（x0，y0），该点到理论齿廓上各点的距离可表达为关于α1的函数[18]，即f(α1)=(x0-x1)2+(y0-y1)2 （11）这里称该函数的极小值为齿廓特征点到理论齿廓的包络误差δ，令f '（α1）=0可求得理论齿廓上距特征点距离最近点的压力角α1，并由式（10）和式（11）求解逼近误差。根据上述方法开展实例计算。取m=4 mm，zd=30，Kd=7，α=π/9 rad，ha=1，则在单侧齿廓的啮合部分可得12个齿廓特征点，定义x轴最右端的点为1号点，最左端的点为12号点，这些点的坐标及误差如图13所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.F013图13计算例的齿廓特征点及其误差Fig. 13Tooth profile feature points and their errors of the calculation example由图13可知，滚切产生的包络误差从齿顶部到齿根部存在递减趋势，最大包络误差δmax为0.002 56 mm。2.3　包络误差的变化规律如前面分析，非圆齿轮不同位置齿廓的包络误差与该位置的zd和Kd有关。本小节对这两个因素对包络误差的影响进行控制变量计算，给出zd和Kd对δmax的影响规律；在此基础上，对非圆齿轮整周δmax的位置和数值进行分析计算。基于图13计算所用参数，令Kd=10，zd的取值范围为18~25，步长取1，各齿廓特征点的误差如图14所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.F014图14zd变化对δ的影响Fig. 14Effect of zd change on δ令zd=20，Kd的取值范围为9~21，步长取2，各齿廓特征点的误差如图15所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.F015图15Kd变化对δ的影响Fig. 15Effect of Kd change on δ通过对图14和图15的分析，可归纳如下：在Kd不变的情况下，zd的变化对包络产生的齿廓特征点数量几乎没有影响，但δmax随着zd的增大而减小；在zd不变的情况下，Kd的增加会使齿廓特征点的数量增加，但δmax随着Kd的增大而减小。根据该结论，结合图10可知，对于椭圆齿轮而言，其整周齿廓包络误差的最大值将出现在短轴位置附近，该位置的zd和Kd均为最小，取zd=19，Kd=9，得δmax=0.003 42 mm。以椭圆齿轮长轴位置对应齿槽为1号齿槽，编号按逆时针方向依次增加，各齿槽齿廓的最大包络误差如图16所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.F016图16各齿槽齿廓的最大包络误差Fig. 16Maximum envelope error of each profile由图16可知，对于文中的椭圆齿轮分析例而言，在zd和Kd双重波动变化的情况下，各齿槽齿廓的δmax从长轴到短轴呈现了递增的趋势。3 抑制包络误差的滚切加工策略非圆齿轮滚切过程中，节曲线不同位置的zd是受非圆齿轮设计参数制约的确定值，为对包络误差进行抑制，需适当增大Kd的数值。在滚切运动模型固定的情况下，由式（3）可知，可以增大所选滚刀的开槽数K。例如，对于文中的椭圆齿轮分析例，当K由12增加到20时，短轴位置的Kd由9增大到14，δmax将降到0.001 5 mm；但K的增大会导致滚刀具有更大的外径和制造成本。本文通过设计预期的窜刀运动，控制滚切过程局部的Kd值，以达到抑制局部δmax的效果。由图2可知，节曲线的非圆特征导致不同位置极切角μ不恒等于90°，引起齿条节线与非圆节曲线切点y轴坐标的波动，该波动叠加到滚刀自转所引起的位移l上，导致式（3）中Kd值的波动。基于该分析，在滚切过程中可采用窜刀运动来补偿齿条节线与非圆节曲线切点y轴坐标的波动。设计以极角φ为自变量的滚刀等效齿条插刀，在y轴方向的运动补偿函数为f(φ)=ξd(rcos μ)dφ （12）式中，r和μ均为关于φ的函数；ξ为常值系数。设滚齿机窜刀轴为YB，滚刀螺旋升角为λ，则由式（1）所述滚切基本模型演化而来的窜刀滚切联动模型为ωC=r2+(dr/dφ)2r2[Tm2ωBKC+f(φ)]vX=dr/dφr[Tm2ωB+f(φ)]vYB=f(φ)/cos λ （13）按照式（12）所构造的补偿函数f（φ）在[0，2π] rad上的积分为0，可保证滚刀在对非圆齿轮的单圈滚切中左右窜刀量之和为0，不会引起多圈连续滚切过程中滚刀持续朝一个方向的窜刀量累加而导致的窜刀行程不足问题。该补偿函数具有匀化Kd值的作用，ξ值的改变可以调节匀化的程度。当ξ以0.1为步长，从0.8变化到1.2时，节曲线各位置Kd值如图17所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.F017图17ξ值对Kd值的影响规律Fig. 17Influence rule of ξ value on Kd value对比图10与图17可知，窜刀补偿的引入可降低Kd在节曲线整周的波动幅度，降低长极径位置的数值，提高短极径位置的数值。当ξ1时，Kd保持了长极径位置大于短极径位置的特点；当ξ=1时，Kd出现了整周一致的特点；当ξ1时，Kd出现了长极径位置小于短极径位置的特点。从匀化整周包络误差的角度出发，以zd和Kd乘积的最小波动量为优化目标，对ξ进行取值优化。以文中椭圆齿轮为例，当zd和Kd乘积波动量最小时，ξ取值为1。此时，该椭圆齿轮整周的Kd值均为12，δmax出现在zd最小的位置，即长、短轴位置；计算得整周滚切的δmax=0.001 9 mm，相比改善前降低了0.001 52 mm。4 模型的滚切验证基于自主开发的非圆齿轮专用数控滚切实验平台[14]5176，取ξ为1，以式（13）搭建柔性电子齿轮箱变速比传动模型，开展流量计用卵形齿轮的滚切加工。该齿轮齿数为54，模数为1 mm，偏心率为0.25，长轴长度为短轴的1.85倍，滚切过程如图18所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.F018图18卵形齿轮滚切实验过程Fig. 18Experimental process of the oval gear hobbing在滚刀相同转速200 r/min条件下，未窜刀条件下C轴、X轴和窜刀条件下C轴、X轴、YB轴的速度-时间对比如图19所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.F019图19两种加工模型的各轴速度曲线Fig. 19Speed curves of each axis of the two machining models通过对比两种加工模型所对应的各轴速度曲线可知，对于C轴速度，两种模型的速度变化趋势相反，窜刀法改变了不窜刀条件下的速度高低变化态势；对于X轴速度，两种模型的速度变化趋势相近，但窜刀法改变了不窜刀条件下的速度高低点位置。加工实验过程中，窜刀法所对应的滚刀经过长轴附近10个齿槽的时间减少了约40%，由约5 s减少为约3 s；同时，经过短轴附近10个齿槽的时间增加了约2倍，由约1 s增加为约3 s。在滚刀恒定转速下，滚刀通过短轴附近区域时间的延长以及长轴附近区域时间的缩短，从侧面反映出，滚刀的断续切削过程在短轴附近的齿廓表面可以形成更加致密的包络线，且疏化了长轴附近齿廓的包络线密度，具有匀化非圆齿轮整周滚切齿廓包络误差，并抑制最大包络误差的效果。所加工的卵形齿轮整周不同位置的轮齿齿面粗糙度较为一致，齿轮副啮合顺畅。5 结论1）从加工联动模型开展齿廓几何包络仿真可知，滚切基本联动模型产生的包络线密度与节曲线极径大小成正相关关系，不同位置齿廓特征点的数量之比约等于极径的长度之比，且包络线的疏密分布与节曲线曲率半径无明显关联。2）采用当量齿轮和当量滚刀对包络误差开展研究，构建的包络误差计算模型建立了与非圆齿轮设计参数、滚刀开槽数、滚切联动模型之间的联系，量化了非圆齿轮齿廓包络误差的计算问题。单齿廓最大包络误差具有随当量齿轮齿数和当量滚刀槽数增加而降低的变化特点。3）设计了一种滚刀窜刀加工联动模型，对不同极径位置的当量滚刀槽数进行调控，可有效改善滚切包络线的疏密分布不均问题，对抑制非圆齿轮包络误差具有明显效果。4）研究工作对非圆齿轮滚切加工的包络误差控制提供了理论支撑，可根据加工对象、滚刀、联动模型的选择情况，对包络误差进行预判，并指导合理加工方案的制订。