0 引言角接触球轴承可以承受轴向载荷、径向载荷与倾覆力矩，因而广泛应用于高端机床、汽车行业和航空航天等领域中。但是，角接触球轴承在安装过程中会不可避免地出现内圈不对中；而且，若轴承承受的轴向载荷或倾覆力矩过大，则会出现接触椭圆被截断的现象，导致轴承局部应力集中与寿命迅速下降。因此，许多国内外学者对其进行了大量研究。Spiewak[1]建立了8点接触的双回转球轴承有限元模型，进行了不同材料参数和结构参数下静态承载能力分析。Li等[2]提出了一种分析双列四点接触球形回转轴承承载能力的方法，研究了轴向间隙、沟曲率半径系数、接触角等设计参数的变化对回转轴承动态承载力的影响。Aguirrebeitia等[3]提出了一种三排滚子轴承静态承载能力的理论计算方法，为该类轴承的设计提供了参考。Chen等[4]建立了一种受列间距影响的四点接触球轴承承载能力分析模型，对轴承几何参数提出了一些设计建议。Tijare等[5]设计了一种新型的凹面滚动元件几何轴承，可用于估算深沟滚子轴承的极限承载能力。Wang等[6]提出了一种包含轴承间隙的计算模型，用于确定在径向载荷、轴向载荷、倾覆力矩等组合下的双列四点接触球轴承的接触载荷分布和静承载能力。Xu等[7]提出了一种基于准静态模型计算组合载荷和任意转速下深沟球轴承轴向和倾覆极限承载能力的方法，研究了不同工况参数与结构参数对其极限承载能力的影响。颜诚等[8]提出了一种基于联合载荷的角接触球轴承轴向承载能力分析方法，但是忽略了离心力与陀螺力矩等因素。黄健等[9]建立了RV减速器用新型交错滚子主轴承承载能力分析模型，并进行了试验验证，发现游隙对径向许用载荷与倾覆力矩影响巨大。朱亮等[10]详细研究了沟曲率半径系数对风电轴承承载能力的影响，发现了增大沟曲率半径有利于提高风电轴承的承载能力。宋晓东等[11]提出了轴向载荷作用下的角接触球轴承静态承载能力的校核方法。刘悦阳等[12]针对航空用双列角接触球轴承进行了摩擦功耗的仿真分析。综上所述，目前国内外缺乏考虑内圈错位角情况下角接触球轴承的极限轴向载荷与力矩载荷分析；已有研究多集中于忽略离心力、陀螺力矩效应的极限轴向力的分析计算。因此，本文建立包含内圈角错位的角接触球轴承极限轴向力与极限倾覆力矩的分析模型，并考虑离心力与陀螺力矩的影响，系统分析了错位角与结构参数对角接触球轴承极限承载能力的影响，期望为角接触球轴承设计提供一定参考。1 理论基础1.1　角接触球轴承极限载荷分析如图1所示，角接触球轴承在承受过大轴向力或倾覆力矩时，会出现接触区被滚道交线棱边截断的情况，导致局部应力集中、严重磨损与迅速疲劳破坏等不良后果。滚道棱边对应的夹角θi/e为θi/e=arccos(1-hi/eri/e) （1）式中，下标i/e表示内圈或外圈；hi/e为内圈或外圈的挡肩高度；ri/e为内圈或外圈的滚道半径。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.F001图1角接触球轴承极限接触状态Fig. 1Ultimate contact state of the angular contact ball bearing第j个滚动体接触区域长半轴aij/ej对应的夹角ϕij/ej为ϕij/ej=arcsinaij/ejrij/ej （2）为了便于判断接触椭圆是否被截断，引入一个标志角ϑi/e，标志角可表示为ϑij/ej=ϕij/ej+αij/ej-θi/e （3）式中，αij/ej为轴承接触角。当ϑij/ej≥0时，认为接触椭圆出现截断，此时轴承所承受的轴向载荷Flimx或倾覆力矩Mlimz称为极限轴向力或极限倾覆力矩。1.2　轴承受载与内部几何变形分析在实际情况下，角接触球轴承会出现一定的安装误差，导致“内圈不对中”的状况。因此，在传统轴承分析模型的基础上，引入γy与γz，表示由安装误差引起的“错位角”。如图2所示，角接触球轴承在F={Fx，Fy，Fz，My，Mz}与转速n作用下，内圈相对于外圈的相对位移d={δx，δy，δz，θy+γy，θz+γz}。在位置角φj处，轴承的内圈在水平和垂直方向上产生的位移分别为δaj和δrj，因此有A1j=(fi+fe-1)Dwsinα0+δajA2j=(fi+fe-1)Dwcosα0+δrj （4）δaj=δx+rp[（θz+γz）sinφj-（θy+γy）cosφj]δrj=δysinφj+δzcosφj （5）rp=12dm+(fi-0.5)Dwcosα0 （6）式中，fi/e为轴承沟曲率半径系数；Dw为滚动体直径；α0为初始接触角；rp为内圈滚道中心轨迹圆的半径；dm为轴承节圆直径。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.F002图2受载与几何变形分析Fig. 2Analysis of load and geometric deformation由于传统Jones-Harris模型在构建局部方程时引入了局部变量X1j、X2j、δij和δej，导致滚动体局部方程组的数量为4Z个，方程数量过多且初值难以确定，容易不收敛。因此，以内外圈接触角αij与αej为局部变量来表示内外圈滚道的接触变形量δij与δej；并引入辅助角ψj。中间过程详见文献[13]。因此有δij=(A1j2+A2j2)cos(ψj+αej)sin(αij-αej)-(fi-0.5)Dwδej=-(A1j2+A2j2)cos(ψj+αij)sin(αij-αej)-(fe-0.5)Dw （7）αij、αej的取值上下限分别为αijlow=arctanA1j-(fe-0.5)DwsinαejA2j-(fe-0.5)Dwcosαejαijupper=arcsinA1j2+A2j2cos(αej+ϕj)(fi-0.5)Dw+αejαejlow=0αejupper=α0 （8）1.3　滚动体与内圈平衡方程角接触球轴承的局部方程分别为滚动体局部方程与内圈局部方程。如图3（a）所示，当轴承高速运转时，滚动体受到内外圈滚道接触力、离心力和陀螺力矩的共同作用。以第j个滚动体为例进行受力分析。内外圈滚道与滚动体的接触力Qij和Qej分别为Qij=Kijδij3/2Qej=Kejδej3/2 （9）式中，Kij和Kej分别为内、外圈接触变形常数，基于Hertz弹性接触理论和拟合公式计算。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.F003图3不同接触状态滚动体受力分析Fig. 3Force analysis of rolling elements in different contact states（a）接触状态 （b）非接触状态离心力Fcj为Fcj=12mdmωmj2 （10）陀螺力矩Mgj为Mgj=Jωmjωbjsinβj （11）式中，J为滚动体转动惯量；ωmj为滚动体公转角速度；ωbj为滚动体自转角速度；βj为滚动体滚道姿态角。具体计算可参考文献[14]。滚动体与内外圈滚道都有接触时，第j个滚动体的平衡方程为Qijsinαij-Qejsinαej-MgjDw（λijcosαij-λejcosαej）=0Qijcosαij-Qejcosαej-MgjDw（λijsinαij-λejsinαej）+Fej=0 （12）式中，αij和αej分别为滚动体与内、外圈滚道的接触角；λij和λej为滚道控制系数，内圈滚道控制与外圈滚道控制时可分别取λij=λej=1与λij=0、λej=2。实际上，角接触球轴承所受轴向载荷较小或存在过大倾覆力矩时，会出现部分滚动体与内圈脱离接触的情况；在离心力的作用下产生爬升现象，直至达到新的平衡状态，如图3（b）所示。此时，滚动体局部平衡方程为Qij=0Qej=Fcj （13）轴承内圈平衡方程为∑j=1Z(Qijsinαij-MgjDwcosαij)=Fx∑j=1Z(Qijcosαij+MgjDwsinαij)sinφj=Fy∑j=1Z(Qijcosαij+MgjDwsinαij)cosφj=Fz∑j=1Z[rp(Qijsinαij-MgjDwcosαij)+fiMgj]cosφj=My∑j=1Z[rp(Qijsinαij-MgjDwcosαij)+fiMgj]sinφj=Mz （14）1.4　角接触球轴承极限载荷计算根据角接触球轴承所受的外部载荷F={Fx，Fy，Fz，My，Mz}与转速n，通过Newton-Rapshon迭代法求解角接触球轴承平衡方程，求得每个滚动体的实际接触角αij/ej与接触椭圆的半长轴aij/ej；然后校核标志角ϑij/ej，逐步地增加Fx或Mz，直至出现ϑij/ej≥0时，则认为接触椭圆被截断，求得轴承极限轴向载荷Flimx或极限倾覆力矩Mlimz。具体流程如图4所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.F004图4极限承载能力计算流程Fig. 4Flow chart of ultimate bearing capacity calculation2 模型验证与讨论2.1　模型验证为了验证上述模型的正确性，选用文献[15]286-287、Romax与本文中模型进行计算结果对比，所用的轴承基本参数如表1所示，工况为Fx=500 N，Fy=2 000 N，Fz=My=Mz=0，θy=θz=0，n=0。结果如图5所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.T001表1角接触球轴承基本参数Tab. 1Basic parameters of angular contact ball bearings参数数值滚动体直径/mm6初始接触角α0/（°）30滚动体数量Z12轴承中心距A/mm0.05内圈滚道中心圆的半径rp/mm19.65刚度系数K/（N/m1.5）1.45×101010.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.F005图5计算结果对比Fig. 5Comparison of calculation results文献[15]288-289使用引入4个局部变量的方法求解拟静力学方程；Romax使用切片法求解拟静力学方程。如图5所示，上述两种方法与本文方法的结果一致，从而验证了本文方法的正确性。下面以角接触球轴承7008C为研究对象，讨论错位角、径向力、沟曲率半径系数、挡肩高度等参数对轴承极限承载能力的影响。7008C的结构参数如表2所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.T002表2角接触球轴承7008C基本参数Tab. 2Basic parameters of angular contact ball bearings 7008C参数数值滚动体直径/mm8初始接触角α0/（°）15滚动体数量Z17内沟曲率半径系数fi0.520外沟曲率半径系数fe0.520节圆直径dm/mm54内圈挡肩hi/mm2.0外圈挡肩he/mm2.02.2　错位角与径向力对极限承载能力的影响角接触球轴承在安装时，内圈与轴之间不可避免地存在“错位角”，分别在n=1 000 r/min、Fy=1 000 N条件下研究错位角对7008C极限承载能力的影响，并在γy=γz=0、n=1 000 r/min条件下研究Fy对7008C极限承载能力的影响，结果如图6所示。图6错位角与径向力对极限承载能力的影响Fig. 6Influence of the dislocation angle and the radial force on ultimate bearing capacity10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.F6a1（a）错位角γz10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.F6a2（b）错位角γy10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.F6a3（c）径向力Fy如图6（a）、图6（b）所示，当内圈存在一定的错位角时，可以一定程度弱化角接触球轴承极限轴向力Flimx与极限倾覆力矩Mlimz，而且错位角γz比γy弱化效果更显著。因为无论是Fy与Fx，还是Fy与Mz联合作用于角接触球轴承上，错位角γz造成的“内圈接触载荷不均匀性”更显著，所以，弱化作用更强。如图6（c）所示，随着径向载荷Fy的增加，角接触球轴承极限轴向力Flimx与极限倾覆力矩Mlimz显著下降。这是由于径向载荷增加，造成局部滚动体受载增加，进而削弱了轴承的极限承载能力。2.3　沟曲率半径系数与挡肩高度对极限承载能力的影响沟曲率半径系数与挡肩高度是角接触球轴承重要的设计参数，对轴承的承载性能影响巨大。在Fy=1 000 N、n=1 000 r/min、γy=γz=0条件下分别研究内外沟曲率半径系数与内外圈挡肩高度对7008C极限承载能力的影响，结果如图7所示。图7沟曲率半径系数与挡肩高度对极限承载能力的影响Fig. 7Influence of the curvature radius coefficient and the shoulder height on ultimate bearing capacity10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.F7a1（a）内圈沟曲率半径系数fi10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.F7a2（b）外圈沟曲率半径系数fe10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.F7a3（c）内圈挡肩高hi10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.F7a4（d）外圈挡肩高he如图7（a）、图7（b）所示，随着沟曲率半径系数的增加，角接触球轴承极限轴向力Flimx与极限倾覆力矩Mlimz显著上升。这是由于随着沟曲率半径增加，导致接触椭圆长半轴不容易被截断。如图7（c）、图7（d）所示，随着挡肩高度的增加，角接触球轴承极限轴向力Flimx与极限倾覆力矩Mlimz显著上升。这是由于挡肩高度的增加导致棱边夹角θi/e增加，从而使轴承的极限承载能力增加。但是，挡肩高度增加到一定程度后，Flimx与Mlimz不再增加。这是由于最小挡肩高度min（hi，he）的制约，挡肩高度较小处出现椭圆被截断。2.4　滚动体数量与直径对极限承载能力的影响滚动体数量与直径对轴承的承载性能影响巨大。在Fy=1 000 N、n=1 000 r/min、γy=γz=0条件下，分别研究滚动体数量与直径对7008C极限承载能力的影响，结果如图8所示。图8滚动体数量与直径对极限承载能力的影响Fig. 8Influence of number and diameter of rolling elements on ultimate bearing capacity10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.F8a1（a）滚动体数量Z10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.001.F8a2（b）滚动体直径Dw如图8（a）、图8（b）所示，随着滚动体数量的增加，角接触球轴承极限轴向力Flimx与极限倾覆力矩Mlimz有一定程度的上升。这是由于随着滚动体数量增加，导致滚动体接触载荷下降。随着滚动体直径的增加，角接触球轴承极限轴向力Flimx与极限倾覆力矩Mlimz有一定程度的下降。这是由于随着滚动体直径的增加，棱边夹角θi/e下降，导致接触椭圆更容易被棱边“截断”。3 结论建立了包含内圈角错位的角接触球轴承极限轴向力与极限倾覆力矩的分析模型。通过变量替换的方式减少方程数量，降低了求解难度；通过与文献、成熟的商业软件Romax对比，验证了分析方法的准确性；最后，研究了不同因素对角接触球轴承极限承载能力的影响。得到如下结论：1）错位角γ与径向力Fy均可以在一定程度上削弱轴承的极限轴向力Flimx与极限倾覆力矩Mlimz，且错位角γz的作用效果比γy更显著。2）适当地增大沟曲率半径系数与挡肩高度均可以显著提高角接触球轴承的极限轴向力Flimx与极限倾覆力矩Mlimz，而且最小挡肩高度min（hi，he）决定了最终的承载能力。3）增加滚动体的数量、减小滚动体的直径均可以提高角接触球轴承的极限轴向力Flimx与极限倾覆力矩Mlimz。