0 引言有学者将在航天航空等领域内仅使用一次的机械设备定义为一次性机械[1]。这类机械通常在满载或过载条件下工作，使用寿命以分钟为单位。典型的一次性机械——电动舵机多采用谐波齿轮传动。一次性谐波齿轮在运行时通常不会出现常规谐波传动重点研究的柔轮高周疲劳失效行为，而是以大载荷下啮合刚度失效为主，主要表现形式为柔轮断裂[2]。因此，有必要研究一次性谐波传动时柔轮的裂纹扩展现象和啮合刚度，从而提高其短期承载能力。很多学者和机构针对齿轮传动的裂纹扩展和啮合刚度展开了讨论。考虑到一次性谐波齿轮的特点，高接触比薄轮缘直齿圆柱齿轮的相关研究成果可供参考。高云等[3]720-721通过轮齿有限元模型确定了齿根裂纹的初始位置，并仿真分析了齿轮齿根处裂纹扩展路径。在齿轮动力学模型和断裂力学理论的基础上，Li等[4]提出了一种有限元模型实现齿根疲劳裂纹齿轮剩余寿命的预测方法。Podrug等[5]建立了一个临界平面损伤模型，分析了齿轮裂纹的路径和形状，并计算了疲劳寿命。基于三维边界元法，Patil等[6]讨论了直齿轮轮齿的裂纹扩展路径和寿命预测。Doan等[7]根据静力分析确定了裂纹的初始位置，并基于Ansys模拟分析了轮缘厚度和压力角对直齿轮齿根裂纹扩展的影响。早期齿根裂纹的研究大多基于标准有限元法或边界元法。然而，这些方法在处理裂纹的不连续性和非线性问题时存在计算精度和效率低的问题。为了解决这些问题，Moes等[8-9]在1999年首次提出了一种数值方法来解决强弱不连续性问题，称为扩展有限元法（Extended Finite Element Method，XFEM）。在此基础上，Stolarska等[10]建立了一个结合水平集方法和XFEM的模型来模拟裂纹扩展。基于XFEM，余洋等[11]2-4设计了一个高速直齿轮齿根裂纹扩展程序，并讨论了离心力、初始裂纹和轮缘厚度对裂纹扩展的影响。Hiung等[12]通过XFEM研究了不同转矩下具有应力强度因子的正齿轮的裂纹行为。Cura等[13]分析了轮辋和腹板厚度对薄轮辋齿轮裂纹扩展的影响。有限元法常用于解决齿轮传动中轮齿变形和啮合刚度问题。Ma等[14]利用Ansys建立了裂纹直齿圆柱齿轮传动的有限元模型，分析了不同裂纹深度下的啮合刚度。Chen等[15]基于有限元理论和啮合轮齿的接触分析，研究了齿轮啮合刚度与轮缘厚度和断裂模式之间的关系。Verma等[16]通过XFEM估计了直齿轮的裂纹扩展路径，并分析了裂纹对时变啮合刚度的影响。吴家腾等[17]将解析法和有限元模型结合，引入应力强度因子并分析了含有齿根裂纹的直齿圆柱齿轮时变啮合刚度。万志国等[18]利用线弹性断裂力学理论结合Ansys软件，讨论了齿轮齿根裂纹扩展趋势，并分析了裂纹参数对啮合刚度的影响。舒斌等[19]研究了多条齿根裂纹对啮合刚度的影响。孟宗等[20]基于Runge-Kutta法求解了裂纹长度对齿轮传动动力学的影响效果，并基于此进行了齿轮故障预测。上述研究较少涉及谐波齿轮的裂纹扩展和啮合刚度。通常情况下，长期运行的谐波传动中柔轮容易出现疲劳失效，因此，对短期大载荷谐波传动的刚度研究较少。Hu等[21]考虑了薄壁齿轮的齿圈柔性，借用弯曲梁理论建立了薄壁柔轮的啮合刚度模型。基于有限元模型，Kayabasi等[22]分析了柔轮在传动过程中的最大应力和位置。Rheaume等[23-24]使用有限元软件建立了谐波齿轮的数值模型，以获得扭转刚度，并讨论了几何参数对刚度的影响。Ma等[25]通过有限元模型分析了谐波传动的啮合刚度，并讨论了转矩对啮合参数的影响。Ma等[26]建立了一个综合系统来分析多个轮齿同时接触时谐波传动的啮合特性。韦乐余等[27]建立了有限元模型，结合谐波齿轮的静态和动态接触特性，以获得谐波传动的啮合刚度。一次性机械是一个新兴的发展领域。与常规谐波齿轮相比，应用于高负载下的一次性谐波齿轮具有更高的承载能力、更小的体积质量和极低的使用寿命。目前，对一次性谐波传动刚度的研究尚在起步阶段。本文分析了一次性谐波传动在大载荷作用下的裂纹萌生路径以及裂纹对啮合刚度的影响。本文的研究成果将有助于一次性谐波齿轮的设计理论以及刚度评价方法的建立。1 裂纹扩展理论根据线弹性断裂力学理论，裂纹根据力学特性可分为3种类型：张开型裂纹（Ⅰ型）、滑移型裂纹（Ⅱ型）和撕开型裂纹（Ⅲ型），如图1所示。裂纹可视为位移的不连续现象，而齿轮裂纹是由正应力和剪应力共同作用产生的。当将齿轮简化为二维结构模型时，齿根裂纹可等效为I型和II型共同作用的复合裂纹。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.002.F001图1按力学特征分类的断裂模型Fig. 1Fracture model classified by mechanical characteristics（a）张开型 （b）滑移型 （c）撕开型根据线弹性断裂力学理论，在任何应力作用下，裂纹尖端的应力场（图2）为σij（r,e）=KⅠ2πrfijⅠ（e）+KⅡ2πrfijⅡ（e）+KⅢ2πrfijⅢ（e） （1）式中，r为到裂纹尖端的距离；e为裂纹的扩展角度；KI、KⅡ和KⅢ分别为Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型裂纹的应力强度因子。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.002.F002图2裂纹尖端附近的应力场Fig. 2Stress field near the crack tip对于一次性谐波柔轮的齿根部裂纹，有KⅢ=0。因此，其裂纹尖端点的应力分量[3]719可表示为σee=12πrcose2（KⅠcos2 e2-32KⅡsine） （2）τre=12πrcose2[KⅠsine+KⅡ3cos e-1] （3）考虑到一次性谐波传动时柔轮材料和齿根复合裂纹的类型，本文选用断裂准则理论中的最大周向正应力准则，即裂纹沿最大周向拉应力的方向开裂，且当该方向的周向应力达到临界值时，裂纹开始失稳扩展。有如下扩展条件：∂σee∂e=0,      ∂2σee∂e20 （4）裂纹扩展角（图3）则可以表示为e0=2arctan14[KⅠKⅡ±(KⅠKⅡ)2+8] （5）10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.002.F003图3裂纹扩展角Fig. 3Crack propagation angle2 一次性谐波柔轮的裂纹路径分析2.1　有限元模型的建立用于短时高负荷工况下的一次性谐波齿轮在结构上与传统谐波齿轮的区别，主要体现在柔轮上。传统谐波传动通常选择长杯形柔轮来降低杯底应力集中，以延长使用寿命，但难以达到高功重比的使用要求（图4）。本文则采用一种直筒式柔轮的复波谐波传动，如图5所示。这种类型的柔轮可以被看作一个薄轮缘外齿轮，在轴向尺寸上压缩谐波减速器。此外，该柔轮还具有结构简单、加工方便等优点，能够满足一次性谐波齿轮短期运行时高功重比的要求。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.002.F004图4传统的杯形谐波传动Fig. 4Traditional harmonic drive10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.002.F005图5直筒式一次性谐波柔轮Fig. 5Straight cylinder disposable harmonic flexible wheels根据表1的传动参数，建立了一次性谐波传动的简化模型，简化模型包括柔轮、刚轮和波发生器3部分。有限元仿真过程包括谐波传动装配和加载两个分析步。分别在两个齿轮和波发生器的中心处建立参考点，并设置柔轮内表面、刚轮和波发生器外表面与对应参考点的耦合约束，从而方便将边界条件和载荷施加在参考点上。在仿真过程中假设波发生器是完全刚性的。齿轮和波发生器的材料选择如表2所示。一次性谐波传动的模型如图6所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.002.T001表1一次性谐波齿轮传动参数Tab. 1Parameters of the disposable harmonic gear drive参数柔轮刚轮齿数200202模数/mm0.16压力角/（°）20传动比10010.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.002.T002表2一次性谐波齿轮材料参数Tab. 2Material parameters of disposable harmonic gears参数柔轮刚轮和波发生器材料40CrNiMoA45Steel密度/（kg/m3）7 8507 870弹性模量/MPa211 000209 000泊松比0.30.2710.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.002.F006图6一次性谐波传动的模型Fig. 6Models of the disposable harmonic drive（a）三维简化模型 （b）装配后的有限元模型2.2　一次性谐波柔轮的裂纹扩展模拟在有限元模型中设置了两种接触：柔轮的内表面与波发生器的外表面之间的接触；柔轮的齿面与刚轮之间的接触。其中，波发生器和刚轮的表面被定义为主表面，柔轮的表面被定义为从表面。在装配分析步中，全程固定柔轮，首先将波发生器匀速移动至柔轮内撑开，然后匀速移动刚轮至与柔轮啮合的位置。在加载分析步中，固定刚轮外表面，对柔轮和刚轮施加匀速旋转的边界条件；然后，对柔轮施加载荷，在分析步的一半时间内，转矩从0线性增加至最大值并一直保持到结束。一次性柔轮的应力分布和变形如图7所示，受载后刚轮的应力分布和变形如图8所示。图7一次性谐波柔轮的应力分布和变形Fig. 7Stress distribution and deformation of the disposable flexible wheel10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.002.F7a1（a）柔轮装配后空载时的应力分布10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.002.F7a2（b）柔轮在载荷作用下的应力分布10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.002.F7a3（c）柔轮装配后空载下变形10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.002.F7a4（d）柔轮在载荷作用下的变形图8一次性谐波刚轮的应力分布和变形Fig. 8Stress distribution and deformation of the disposable rigid wheel10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.002.F8a1（a）刚轮在载荷作用下的应力分布10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.002.F8a2（b）刚轮在载荷作用下的变形裂纹通常发生在应力集中且反复作用的区域。根据图7和图8的仿真结果，受载后刚轮的应力和变形与柔轮相比都很小，因此，将柔轮的齿根处确定为裂纹初始萌生位置。利用Abaqus有限元软件中扩展有限元模块对柔轮齿根处的裂纹扩展路径进行模拟，建立了柔轮损伤模型，如图9所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.002.F009图9基于XFEM的一次性柔轮齿根裂纹扩展有限元模型Fig. 9Finite element model of crack propagation at the root of the disposable flexible wheel based on XFEM（a）损伤模型 （b）柔轮轮齿的啮合位置根据Zhang等[28]对一次性谐波传动中载荷分布的研究结果，装配后载荷被施加到啮合区域内柔轮轮齿的啮合位置（图9）。为了讨论参数对裂纹扩展路径的影响，本文选择了XFEM中预制裂纹和无预制裂纹两种分析方法。初始裂纹参数包括位置参数ϑ、方向参数α和长度参数lC，如图10所示。根据文献[3]722-723和文献[11]4-6，选择表3所示的5组裂纹参数进行模拟。分别分析了预制裂纹的位置、方向和初始长度对柔轮齿根裂纹扩展路径的影响。裂纹扩展轨迹如图11所示。图11（a）所示为在相同初始裂纹长度和方向的条件下，不同初始裂纹位置的裂纹扩展路径。由图11（a）可以看出，初始位置对柔轮齿根处的裂纹扩展路径有很大影响，初始裂纹越靠近齿槽中心，一次性柔轮发生轮缘断裂失效的可能性越大。而根据图11（b）和图11（c），初始裂纹的方向和长度对裂纹扩展路径几乎没有影响。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.002.F010图10柔轮根部裂纹的参数Fig. 10Parameters of the flexible wheel root crack10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.002.T003表3预制裂纹参数Tab. 3Parameters of the pre-crack编号位置参数/（°）方向参数/（°）长度参数/mm15100.01210300.02315500.03420700.04525垂直于齿廓0.0510.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.002.F011图11不同初始参数下一次性谐波柔轮的齿根裂纹扩展路径Fig. 11Root crack propagation path of the disposable harmonic flexibe wheel under different initial parameters（a）位置不同 （b）方向不同 （c）长度不同无初始裂纹的情况下，在XFEM模块中裂纹区域被设置为柔轮整体，重复上述操作对有限元模型进行加载。图12（a）~图12（c）所示为无初始裂纹时柔轮的裂纹扩展过程和裂纹的实际开裂状态，即裂纹从轮齿的齿槽中心位置逐渐扩展到柔轮轮缘内壁，图12（d）所示为柔轮轮缘内壁的裂纹状态。对比图11和图12可以看出，无预制裂纹时柔轮齿根的裂纹扩展路径近似于预制裂纹位置参数ϑ=5°且方向参数α垂直于齿廓的裂纹路径。柔轮的轮缘断裂是一次性谐波传动时柔轮的主要失效形式。图12无预制裂纹时一次性谐波柔轮的裂纹扩展路径Fig. 12Crack propagation path of the disposable flexible wheel without pre-cracks10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.002.F12a1（a）柔轮初始齿根裂纹（b）裂纹向轮缘延伸10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.002.F12a2（c）裂纹延伸至内壁（d）柔轮轮缘内壁裂纹3 裂纹对一次性谐波传动啮合刚度影响根据图11和图12的齿根裂纹扩展路径仿真结果，建立一次性谐波传动中柔轮的裂纹齿模型，如图13所示。在本文中，裂纹方向被近似为从垂直于齿槽曲线并逐渐延伸至轮缘内壁。根据表1的传动参数，近似后的裂纹方向误差在2%左右，可以忽略不计。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.002.F013图13一次性谐波柔轮的裂纹齿模型Fig. 13Crack tooth model of the disposable harmonic flexible wheel根据悬臂梁理论和能量法中的卡氏定理，单个裂纹柔轮齿中存储的能量可以表示为Uε=∫0hδ-lCFa122E1A1pdx+∫0hδ-lCFb122G1A1pdx+∫0hδ-lCMx122E1I1pdx+∫hδ-lChδFa122E1A1pcdx+∫hδ-lChδFb122G1A1pcdx+∫hδ-lChδMx122E1I1pcdx+∫hδhδ+dFa122E1A1xdx+∫hδhδ+dFb122G1A1xdx+∫hδhδ+dMx122E1I1xdx （6）式中，E1、G1分别为柔轮材料的弹性模量和剪切模量，有G1=E1/[2（1+ν1）]，其中ν1为柔轮材料的泊松比；h1、hδ分别为柔轮的齿高和轮缘厚度；A1x、I1x分别为距轮缘根部x处横截面的面积与惯性矩；而A1p、I1p则分别为单个柔轮齿轮缘处的横截面积与惯性矩；lC为柔轮齿根处的裂纹长度；A1pc、I1pc分别为单个柔轮齿轮缘裂纹处的横截面积和惯性矩。其中，A1x、I1x、A1p、I1p、A1pc和I1pc可表示为A1x=2SxL （7）I1x=112(2Sx)3L （8）A1p=PL （9）I1p=112P3L （10）A1pc=（SC+P2）L （11）I1pc=112（SC+P2）3L （12）式中，Sx为距轮缘根部x处柔轮的半齿厚；SF为啮合力作用点处柔轮的半齿厚；P为柔轮轮齿的节距；L为柔轮的齿宽；SC为柔轮轮缘处裂纹到轮齿中心线的距离，可根据第2节仿真结果获得。将式（7）~式（12）代入式（6），则单个裂纹柔轮轮齿的弹性变形可表示为δε=Fsin2θdE1PL（hδ-lC）+Fcos2θdG1PL（hδ-lC）+F112E1P3L∫0hδ-lC[（hδ+d-x）cosθd-SFsinθd]2dx+Fsin2θdE1(SC+P2)LlC+Fcos2θdG1(SC+P2)LlC+F112E1(SC+P2)3L∫hδ-lChδ[（hδ+d-x）cosθd-SFsinθd]2dx+Fsin2θdE1L∫hδhδ+ddxSx+Fcos2θdG1L∫hδhδ+ddxSx+F23E1L∫hδhδ+d[（hδ+d-x）cosαd-SFsinθd]2Sx3dx （13）根据式（13）可知，影响裂纹轮齿刚度的主要因素是裂纹长度lC和裂纹距齿中线的距离SC。而根据仿真结果，可将SC视为定值。参考文献[29]，分别计算不同裂纹长度下柔轮的刚度，结果如图14所示。由图14可以看出，由于裂纹的存在，一次性谐波传动在啮合区的刚度降低，且在啮合区中部降低最严重。此外，随着裂纹长度的增加，啮合区刚度下降得越明显。考虑到谐波传动时多对轮齿同时拟合，运行时后续啮合的轮齿会对前面还未退出啮合的轮齿产生影响，本文借用有限元模型，分析一次性谐波传动在健康和有裂纹情况下啮合区的综合啮合刚度。提取啮合区内柔轮和刚轮啮合轮齿的载荷和综合弹性变形，绘制如图15所示的啮合刚度曲线。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.002.F014图14裂纹长度对一次性谐波传动中柔轮刚度的影响Fig. 14Effect of crack length on flexible stiffness of the disposable harmonic drive10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.002.F015图15无裂纹一次性谐波传动的啮合刚度Fig. 15Meshing stiffness of the disposable harmonic drive without cracks啮合初期一次性谐波传动的齿轮刚度先迅速增加，然后逐渐减小。根据图11和图12的仿真结果，在图6（b）的模型中对柔轮啮合区的齿根添加ϑ=5°，lC=0.01 mm且α垂直于齿廓的初始裂纹，加载后绘制一次性谐波传动在健康和有裂纹两种情况下的啮合刚度，如图16所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.002.F016图16裂纹对一次性谐波传动的啮合刚度的影响Fig. 16Effect of cracks on the meshing stiffness of the disposable harmonic drive由于裂纹的存在，一次性谐波传动在啮合区的刚度降低，且在啮合区中部降低最严重。这是由于传动时，啮合区中部位置的轮齿载荷较大，裂纹萌生明显，直接影响了刚度，与理论计算结果相吻合。啮合区中部位置的裂纹如图17所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.002.F017图17啮合区中部位置的裂纹萌生Fig. 17Crack initiation in the middle of the meshing area一次性谐波传动啮合区的综合刚度计算式为K=k1+k2+⋯+kn （14）式中，k1~kn分别为啮合区内各接触齿对的刚度。将图16中的数值代入式（14），可分别得到有、无裂纹下一次性谐波传动的综合刚度。经过计算，当裂纹存在时，一次性谐波传动在啮合区综合刚度下降12%左右。4 结论基于线弹性断裂力学和Abaqus软件中的扩展有限元模块，分析了一次性谐波传动中柔轮齿根的裂纹特性并讨论了裂纹对啮合刚度的影响。得出结论：1）齿根裂纹轨迹主要受初始裂纹位置的影响。初始裂纹越靠近齿槽中心，柔轮越有可能发生轮缘断裂。2）一次性谐波传动在高载荷下运行时，柔轮的裂纹首先发生在齿槽中心附近，并从齿根逐渐向内壁延伸。3）柔轮的刚度随着裂纹长度的增加逐渐减小，裂纹对啮合区中部刚度影响最大，会导致一次性谐波传动的综合啮合刚度降低12%左右。