0 引言内啮合齿轮传动是一种重要的机械传动方式，具有传动平稳、结构紧凑、重合度大、承载能力强、磨损较轻等优点，广泛应用于汽车、工程机械、航空、航天等领域。随着机械设计与制造的发展，人们对应用计算机进行齿轮的精确建模和参数化设计提出了更高的要求[1]171。建立齿轮实体模型是实现CAD/CAM集成应用和进行力学性能分析的前提。早期文献对齿轮全齿廓曲线的绘制，多采用圆弧近似代替齿根过渡曲线[2-3]；这种方法建立的齿轮模型，多不能满足精度要求，准确性低，也会给后来的干涉检验及强度分析带来偏差[4]。后来，一些学者[5-8]建立了准确的齿根过渡曲线方程，提出了比较详细的外啮合齿轮全齿廓建模方法。蒋孝煜等[9]对外啮合直齿轮滚切齿廓和插制齿廓方程（包括工作齿廓和过渡曲线部分）进行了详细推导，并讨论了刀刃圆角对过渡曲线曲率的影响。付永涛等[10]62-66应用VC++对UG软件进行二次开发，实现了渐开线变位斜齿轮参数化精确建模和数字化生成。轩亮等[11]应用VB对SolidWorks进行开发，通过对齿廓参数化方程离散坐标点的创建和拟合，实现了外啮合直齿轮或斜齿轮的参数化快速建模。张俊等[12]在斜齿轮行星传动参数化建模中给出了较复杂的内齿轮过渡曲线参数方程。关于内啮合齿轮，其参数化精确建模的方法与外啮合齿轮相似，但是已有文献相对少一些。在齿轮参数化设计方面，廖坤明等[1]171-172将VB运用于齿轮设计中，集成Matlab和Catia软件，开发了基于精确建模的齿轮参数化设计交互系统。晁永生等[13]研究了基于Web服务的齿轮参数化设计方法，利用Access软件建立了齿轮参数数据库，基于UG二次开发了齿轮参数化设计模块，设计人员可以通过Web服务实现远程协同开发与设计。苑明杰等[14]运用Matlab软件编制程序，建立了椭圆类齿轮参数化数学模型，完成了相关设计计算及各关键参数校验，并进行了齿轮副节曲线啮合动态仿真，其基于Matlab GUI编程的齿轮参数化设计方法值得借鉴。本文通过图解和理论分析建立了内啮合齿轮全齿廓各曲线段数学方程，重点推导了依据齿轮展成原理及齿廓法线法建立的内齿轮齿廓过渡曲线方程，由过渡曲线方程推导出内啮合齿廓过渡点压力角参数。通过Matlab GUI编制内啮合齿轮参数化设计及精确齿廓建模程序，依据设计者输入的齿轮参数进行齿轮副几何计算及刀具选型计算，并将计算结果进行干涉校验，其中，过渡曲线干涉校验利用内啮合齿廓过渡点压力角参数，形成任意刀具圆角（或非特定圆角）情况下过渡曲线干涉的校验公式。经过循环计算和校验，将设计目标齿廓离散点坐标输出Excel，并导入到Catia中，通过曲线啮合拟合技术快速完成内啮合齿轮的精确建模，提高效率，缩短设计开发周期。文中部分主要代号和意义如表1所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.010.T001表1部分主要代号和意义Tab. 1Some main codes and significance代号意义代号意义a齿轮副标准中心距x0H插齿刀变位系数a'内啮合变位中心距c*顶隙系数ha*齿顶高系数ra2内齿轮齿顶圆半径rb2内齿轮基圆半径r2'内齿轮节圆半径α分度圆压力角rH'插齿刀节圆半径α'齿轮副啮合角φ2内齿轮旋转角度α02'插齿刀加工内齿轮时的啮合角φH插齿刀旋转角度m模数sa1外齿轮齿顶厚z2内齿轮齿数sa2内齿轮齿顶厚z1外齿轮齿数αa2内齿轮齿顶压力角zH插齿刀齿数αa1外齿轮齿顶压力角x1外齿轮变位系数αaH插齿刀齿顶压力角x2内齿轮变位系数1 内啮合齿轮副精确齿廓建模内啮合齿轮副由内齿轮和与其共轭的外齿轮组成，传递运动和动力。内啮合齿轮副中外齿轮的精确齿廓建模可以参考文献[15]24-30。本文主要讨论内齿轮齿廓建模。与外齿轮不同，内齿轮的特点是其齿顶圆半径小于齿根圆半径、大于基圆半径。内齿轮齿形完整齿廓如图1所示，主要由bc、cd、de、ef等4段曲线组成。其中，bc为齿顶圆弧曲线；cd为渐开线工作齿廓曲线；de为齿廓过渡曲线；ef为齿根圆弧曲线。过渡曲线连接齿轮渐开线齿廓和齿根圆，在不根切的情况下，过渡曲线分别与渐开线齿廓和齿根圆弧曲线相切[16]94。下面分别阐述内齿轮各段齿廓曲线的建模方法。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.010.F001图1内齿轮齿廓示意图Fig. 1Diagram of tooth profile of the internal gear1.1　内齿轮齿顶圆弧曲线内齿轮齿顶圆弧曲线如图2所示。圆弧参数方程容易建模，核心内容在于确定圆弧圆心角δ1大小和起、止点位置。基于轮齿对称性，本文对圆心角δ1对应于0→12bc的一段圆弧建模，其参数化方程为x=ra2sinδ1y=ra2cosδ1 （1）式中，0≤δ1≤β-(θαa-θα)。其中，β=S22r2，r2为内齿轮分度圆半径；S2为内齿轮分度圆齿厚，S2=m(π2-2x2tanα)；θαa、θα分别为渐开线齿廓与齿顶圆、分度圆相交点处的展角，且θα=inv α，θαa=inv αa；αa为齿顶圆压力角。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.010.F002图2内齿轮齿顶圆弧曲线Fig. 2Addendum arc curve of the internal gear1.2　内齿轮渐开线齿廓曲线内齿轮渐开线齿廓如图3所示。根据渐开线生成原理，推导笛卡儿坐标系下的参数化方程为x=rb2sin（γ+δ）-rb2γcos(γ+δ)y=rb2cos(γ+δ)+rb2γsin(γ+δ) （2）式中，γ=tan αk，αk∈[αM，arccos(rb2/ra2)]；δ=β-inv α；A点为基圆上渐开线起点；β如图2所示；αM为工作渐开线与过渡曲线相切连接点M的压力角。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.010.F003图3内齿轮渐开线齿廓Fig. 3Involute tooth profile of the internal gear1.3　内齿轮齿廓过渡曲线齿廓过渡曲线也被称为齿根过渡曲线，并非内啮合齿轮传动中的工作齿廓，对传动效率没有过多影响，但对齿根弯曲应力以及齿轮承载能力有很大影响[10]62-64。通常齿轮受载时齿根过渡曲线处的弯曲应力最大，影响齿轮的疲劳寿命。内齿轮通常采用插齿刀加工。根据插齿刀齿形不同，其展成形成的齿根过渡曲线也不同。本文依据齿轮啮合原理阐明内齿轮齿廓过渡曲线的形成过程。建立坐标系如图4所示。坐标系SH（OH-xH yH）位于插齿刀圆心OH，yH坐标轴经过刀具齿顶圆角中心点A，圆角半径为ρ，坐标系SH随刀具一起旋转。坐标系S2（O2-x2 y2）位于内齿轮中心O2，随内齿轮旋转，且有φHφ2=z2zH=u，u为齿数比。插齿时，插齿刀的节圆与被加工内齿轮的节圆相切且同向纯滚动，插齿刀渐开线部分包络出内齿轮渐开线共轭齿廓，刀齿圆角部分包络出内齿轮的齿廓过渡曲线。刀齿圆角为尖角（ρ=0）时，过渡曲线为延伸内摆线；刀齿圆角为非尖角（ρ0）时，过渡曲线为延伸内摆线的等距曲线[17]9。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.010.F004图4内齿轮齿廓过渡曲线Fig. 4Tooth profile transition curve of internal gears若刀齿齿顶圆角上某一点A'为啮合点，A'在SH中的坐标方程为xH=-ρsinγyH=RaH-ρ(1-cosγ) （3）式中，RaH为插齿刀齿顶圆半径；γ为刀具圆角上动点A'位置参量。依据齿廓法线法，A'为某时刻插齿展成运动啮合点，过A'的齿廓法线A'A必经过啮合节点P[16]97。此时，插齿刀旋转过角度φH，则有关系式lOHEH=rH'sin(γ+φH)又由于lOHEH=（RaH-ρ）sinγ故插齿展成啮合方程为rH'sin(γ+φH)=（RaH-ρ）sinγ （4）图4中，将A'在SH中的坐标向量表示为A'(xH，yH，zH0，1)T，在S2中表示为A'(x2，y2，z20，1)T。因为在平面坐标系中，置zH0、z20为0。借鉴机器人运动学中的齐次变换法则[18]，将坐标向量A'(xH，yH，zH0，1)T变换到坐标系S2中，即可得到内齿轮过渡曲线方程[16]96，故有(x2,y2,0,1)T=M2H(xH,yH,0,1)T （5）式中，M2H为齐次变换矩阵，有M2H=Rot(z20,-φ2)×Trans(0,a2,0)×Rot(zH0,φH)=cos(φH-φ2)-sin(φH-φ2)0-a2sin(-φ2)sin(φH-φ2)cos(φH-φ2)0a2cos(-φ2)00100001 （6）式中，a2为插齿刀与内齿轮啮合中心距。将式（6）代入式（5）并整理得x2=xHcos(φ2-φH)+yHsin(φ2-φH)+a2sinφ2y2=-xHsin(φ2-φH)+yHcos(φ2-φH)+a2cosφ2 （7）将式（3）代入式（7），再联立式（4），可得内齿轮过渡曲线方程为x2=ρsin(φ2-φH-γ)+（RaH-ρ）sin(φ2-φH)+a2sinφ2y2=ρcos(φ2-φH-γ)+（RaH-ρ）cos(φ2-φH)+a2cosφ2rH'sin(γ+φH)-(RaH-ρ)sinγ=0 （8）式中，(γ+φH)变化范围为(0，π2-α02')；α02'为插齿刀与内齿圈之间啮合角；由式（4）得γ角变化范围为（0，arcsin(rH'RaH-ρcosα02')）。由图4可知，当(γ+φH)取最大值(π2-α02')时，得到齿廓渐开线与过渡曲线的连接切点M（x2M，y2M），M也被称为内齿轮齿廓过渡点[19]。此时，φH和φ2也达到最大值φHmax和φ2max，且有φHmax=π2-α02'-arcsin(rH'RaH-ρcosα02')φ2max=[π2-α02'-arcsin(rH'RaH-ρcosα02')]/u （9）将式（9）代入式（8）中前两个方程得x2M=ρsin[φ2max-(π2-α02')]+（RaH-           ρ）sin(φ2max-φHmax)+a2sinφ2maxy2M=ρcos[φ2max-(π2-α02')]+（RaH-           ρ）cos(φ2max-φHmax)+a2cosφ2max （10）rM=x2M2+y2M2 （11）式中，rM为内齿轮齿廓过渡点M的矢径。该点压力角αM为αM=arccos（rb2/rM） （12）1.4　内齿轮齿根圆弧曲线内齿轮齿根圆弧曲线是齿根圆上的一段曲线，其半径为rf2，如图5所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.010.F005图5齿根圆圆弧曲线Fig. 5Arc curve of the tooth root circle齿根圆弧曲线的参数方程为x2=rf 2sinδ2y2=rf 2cosδ2 （13）式中，δ2∈[φmin，π/z2]；φmin为齿根圆与齿廓过渡曲线相切点所对应的半齿廓圆心角。2 内啮合齿轮的参数化设计2.1　参数化设计流程依据内啮合齿轮副齿廓各个曲线段参数化方程，基于Matlab GUI编程，可以对齿轮副全齿廓进行精确建模；在此基础上，进行齿轮副参数化设计。程序开发流程如图6所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.010.F006图6基于精确齿廓的内啮合齿轮参数化设计流程Fig. 6Parametric design flow chart of the internal gear based on accurate tooth profiles限于篇幅，本文仅讨论内啮合齿轮副中外齿轮用滚刀加工、内齿轮用插齿刀加工情形的设计流程，并且省略基于齿数和变位系数选择的插齿刀选型流程。1）确定内啮合齿轮副基本设计参数ha*、c*、α、m、z2、z1等。2）确定内啮合传动角变位中心距a'及变位系数x2、x1。齿轮副变位系数可以查表或者依据设计经验给出初值，啮合中心距凑整数给出。3）确定内齿轮插齿刀的齿数zH、变位系数x0H及插齿刀齿顶圆直径daH等参数。4）进行内啮合传动几何计算，包括啮合角α'、重合度εa、齿顶厚sa1、sa2等参数计算。5）根据齿轮几何计算结果判定是否有根切、齿顶变尖、重合度太小等现象。6）齿轮干涉校验计算。内齿轮传动干涉包括渐开线干涉、齿廓重叠干涉、过渡曲线干涉、径向干涉。本文只讨论过渡曲线干涉校验，其他3种干涉校验原理可参考文献[20]40-41。过渡曲线干涉：当外齿轮的齿顶与内齿轮的齿根过渡曲线部分接触，或者内齿轮的齿顶与外齿轮的齿根过渡曲线部分接触时，便引起过渡曲线干涉[21] 51。齿轮加工时，刀具齿顶角常制成圆角，这样可以提高刀具的耐用度，增大齿轮过渡曲线的曲率半径，降低齿根应力集中系数；同时，齿顶圆角会使被加工齿轮的工作渐开线长度减小，更容易发生过渡曲线干涉[17]7。因此，校验齿轮副过渡曲线干涉时，不应忽略刀具圆角带来的影响。避免内齿轮齿根干涉的条件：应使内齿轮渐开线终止点B02的压力角αB02大于或等于齿廓工作终止点B1的压力角αB1（αB02≥αB1）[21]52。如果插齿刀齿顶角是尖角（ρ=0），可以沿用文献[20]40-41中的校验公式，即(z2-zH)tanα02'+zHtanαaH≥(z2-z1)tanα'+z1tanαa1 （14）如果插齿刀齿顶角是圆角（ρ0），结合式（12）得，内齿轮过渡曲线干涉校验条件为αM≥αB1。因为tanαB1=1z2[z1tanαa1+(z2-z1)tanα'][21]53，所以易得其校验公式为z2tanαM≥[z1tanαa1+(z2-z1)tanα'] （15）避免外齿轮齿根干涉的条件（外齿轮用滚刀加工）：应使外齿轮齿廓工作部分起始点B2压力角αB2大于或等于齿廓渐开线起始点B01点的压力角αB01（αB2≥αB01）[21]51-52；对于双圆角加工滚刀，其齿顶圆角ρ=c*m1-sinα，可以沿用文献[20]40-41中的校验公式，即1z1[z2tanαa2-(z2-z1)tanα']≥tanα-4(ha*-x1)z1sin（2α） （16）如果滚刀齿顶角是任意圆角（ρ≥0），外齿轮αB01的计算可参考文献[15]27中的式（11）和式（13），并将其联立，将该文献中“齿轮2”的参数下标“2”修改为“外齿轮1”的下标“1”，将公式中“α”用“ϕ”替代，以免和本文中“α”发生混淆，只是“α2”含义不改，重写为r1φ1=(h-ρsinα2)cot ϕ （17）x1=(ha-ρsinϕ+ρ)cos(φ1-ϕ)-r1sinφ1y1=(ha-ρsinϕ+ρ)sin(φ1-ϕ)+r1cosφ1 （18）式中，ha为齿条齿顶高；ϕ∈[α2，90°]；α2为滚刀的齿形角。当ϕ=α2时，得到过渡曲线与齿廓渐开线的连接切点N，坐标为（x1N，y1N），N点即为外齿轮的齿廓过渡点。此时有φ1N=(h-ρsinα2)cot α2/r1 （19）x1N=（ha-ρsinα2+ρ）cos（φ1N-α2）-r1sinφ1Ny1N=（ha-ρsinα2+ρ）sin（φ1N-α2）+r1cosφ1N （20）rN=x1N2+y1N2 （21）式中，rN为外齿轮齿廓过渡点N的矢径。该点压力角αN为αN=arccos（rb1/rN） （22）αN即为所求的αB01。此时，外齿轮过渡曲线干涉校验条件为αB2≥αN。因为tanαB2=1z1[z2tanαa2-(z2-z1)tanα'][21]54，所以得其校验公式为1z1[z2tanαa2-(z2-z1)tanα']≥tanαN （23）7）内啮合目标齿廓精确建模。经过内啮合传动几何计算和循环校验，得到符合设计要求的目标齿轮对。根据前述内齿轮和外齿轮齿廓参数化建模方程，应用Matlab对齿轮进行全齿廓建模计算。最后，将全齿廓坐标数据整合并输出到Excel文件。2.2　设计计算实例利用Matlab GUI编程实现基于精确齿廓的内啮合传动参数化设计，计算算例取齿数z1=17，z2=52，模数m=2 mm，其他相关参数如图7所示。外齿轮采用滚刀加工，内齿轮采用插齿刀加工。为避免插齿加工顶切和干涉，进行插齿刀选型，需对其进行加工干涉校验（具体计算参考文献[21]51-54），插齿刀参数GUI界面如图8所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.010.F00710.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.010.T002图7图8内啮合齿轮组参数插齿刀选型计算Fig. 7Parameters of the internal gear setFig. 8Type selection calculation of the gear shaper cutter依据图6所示的内啮合齿轮参数化设计流程，在图7界面中输入齿轮设计参数；计算和调整齿轮中心距和变位系数，进行插齿刀选型及参数传递；进行齿轮加工干涉校验及啮合齿对的传动干涉校验计算；最终获得目标齿轮对设计参数，并实现齿轮的精确齿廓建模。已知图7齿轮副设计参数，初始默认滚刀刀具圆角半径rp0=c*m1-sinα=0.346 39m，计算得外齿轮齿廓过渡点压力角αN=14.601 8°；初始插齿刀刀具圆角为尖角（rpH=0），计算得内齿齿廓过渡点压力角αM=28.728 7°。由图7、图8可知，经校验，内啮合传动干涉均为无干涉。如果修改滚刀圆角半径rp0=0.20m，插齿刀齿顶圆角rpH=0.15m，计算所得齿廓过渡点压力角分别为αN=13.200 2°、αM=28.462 8°。程序计算其参数化设计精确齿廓及齿廓过渡曲线的比较分别如图9~图12所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.010.F008图9外齿轮全齿廓曲线Fig. 9Complete tooth profile curve of the external gear10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.010.F009图10滚刀不同齿顶圆角形成过渡曲线比较Fig. 10Comparison of transition curves formed by different addendum fillets of hobs10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.010.F010图11内齿轮全齿廓曲线Fig. 11Complete tooth profile curve of the internal gear10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.010.F011图12插齿刀不同齿顶圆角形成过渡曲线比较Fig. 12Comparison of transition curves formed by different addendum fillets of gear shaper cutter由图10可知，rp0变小会使外齿轮过渡曲线曲率增大，增大齿根应力集中系数，同时使αN变小，齿廓过渡点N移向齿根部，延长渐开线齿廓长度，不易引起过渡曲线干涉；由图12可知，rpH增大会使内齿轮过渡曲线曲率变小，减小齿根应力集中系数，引起αM减小，齿廓过渡点M远离齿根部，减小渐开线齿廓长度，有增加过渡曲线干涉的可能性。但经校验计算，此时微小的插齿刀齿顶圆角变化并没有引起过渡曲线干涉。内齿轮副啮合仿真如图13所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.010.F012图13内齿轮副啮合Fig. 13Meshing of the internal gear pair3 输出Catia精确参数化模型Catia不能通过输入参数化方程来绘制相应齿廓曲线，只能通过样条拟合的技术将齿廓坐标点连接得到所要求的曲线；并且只要选取齿廓数据的坐标点足够密，就能绘制出精确的齿廓。将Matlab精确建模形成的齿廓坐标点输出至Excel文档，并依据文献[15]29中的方法将其导入到Catia建模界面中，将坐标点进行样条拟合，形成全齿形轮廓；通过圆周阵列、拉伸等操作生成齿轮三维模型。现在仅以内啮合齿轮副中的内齿轮（z2=52，m=2 mm）为例，简述其建模步骤如下：1）将Excel齿廓坐标点数据导入到Catia界面，并将坐标点拟合为全齿廓曲线，如图14所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.010.F01310.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.010.T003图14图15内齿拟合齿廓单齿廓圆周阵列Fig. 14Fitting tooth profile of internal teethFig. 15Circular array of single tooth profiles2）将内齿轮单齿廓图形进行圆周阵列，形成全圆周齿形，如图15所示。3）增加内齿轮外圆并通过拉伸形成内齿轮副实体模型，如图16所示。图16内齿轮副实体模型(z2=52, m=2 mm)Fig. 16Solid model of the internal gear pair (z2=52, m=2 mm)10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.010.F14a1（a）内齿轮二维图10.16578/j.issn.1004.2539.2023.09.010.F14a2（b）拉伸后内齿轮三维图4 结论完整阐述了内啮合齿轮全齿廓精确建模过程。在此基础上，通过Matlab GUI开发了内啮合齿轮参数化设计系统，主要涉及齿轮副变位和中心距的选择、插齿刀选型参数的确定、齿轮传动干涉校验等内容。通过实例进行齿轮参数化设计，对目标齿轮副进行精确齿廓建模，将齿廓坐标数据导入Catia中完成齿轮副实体建模。1）建立了内齿轮全齿廓各曲线段参数化方程，明确各参数方程主要位置参量取值范围，便于建模时各曲线段顺利连接。2）通过齿轮啮合展成原理及齿廓法线法建立了内齿轮过渡曲线的参数化方程，过渡曲线为延伸内摆线或延伸内摆线的等距曲线。3）齿轮副传动干涉校验中，刀具齿顶角被制成圆角会使被加工齿轮的工作渐开线长度减小，更容易发生过渡曲线干涉[17]7，通过齿廓过渡曲线参数方程计算出齿轮副齿廓过渡点压力角αM、αN，并由此推导出刀具任意圆角（或非特定圆角）情况下内齿轮副过渡曲线干涉校验公式。4）通过计算实例讨论内啮合齿轮加工刀具圆角与齿廓过渡曲线曲率大小、齿根过渡点压力角大小的关系，验证了结论3）的观点。5）基于精确齿廓的内啮合齿轮参数化设计系统，有效提高了计算效率、缩短开发周期。基于Catia建立的精确模型可以导入Ansys等有限元软件中，为进一步对齿轮系统进行应力分析及动态特性分析提供支撑。