0 引言齿轮承载传动误差是评价齿轮动态啮合性能的一个重要指标，承载传动误差波动幅值越小，齿轮振动越小。随着齿轮转速的提高，对齿轮承载传动误差波动幅值的要求越来越高。近年来，国内外学者对齿轮承载传动误差进行了大量研究。2005年，Litvin等[1]提出了一种线接触渐开线斜齿轮改进型面拓扑结构，以减少齿轮承载传动误差。方宗德等[2]对高重合度螺旋锥齿轮的承载传动误差进行了优化设计 。孙月海等[3]推导出定载荷条件下修形直齿轮静态承载传动误差与齿对综合修形参数的关系表达式。Pears等[4]提出了一种预测齿轮承载传动误差的方法，并指出了考虑变速箱中其他部件影响的重要性。Korta等[5]采用有限元方法研究了齿轮体轻量化对一对直齿圆柱齿轮静态承载传动误差的影响。Benatar等[6]研究了斜齿轮修形对于其承载传动误差的影响。Park[7]研究了准静态条件下直齿轮滑动摩擦引起的齿面摩擦力和承载传动误差。Bruyere等[8]推导出直齿轮和斜齿轮的齿形轮廓和齿顶的最佳组合，从而使承载传动误差的时变幅度最小。张西金等[9]提出了斜齿轮齿廓方向刀具圆弧修形及螺旋线鼓形修形的拓扑修形方法，分析了修形齿轮的传动误差。刘玄等[10]提出了一种人字齿轮复合修形设计方法，以降低承载传动误差幅值和齿面闪温。综上可知，目前齿轮承载传动误差及相应的修形设计方面已取得了很多研究成果，但是对于内啮合直齿轮的分析较少。内啮合传动一般用于行星传动，通常采用短齿高形式。因此，本文主要探讨内啮合短齿高直齿轮的修形方式。首先，采用Romax软件分析修形参数对承载传动误差波动幅值的影响规律；为了得到较好的修形效果，进一步研究了修形优化设计方法；最后，在Romax软件平台上进行了修形优化对比分析。本研究工作为提高内啮合短齿高直齿轮的动态啮合性能提供了参考。1 内啮合短齿高直齿轮建模在Romax软件中进行齿轮建模，设计齿轮组类型为直齿轮，采用压力角、模数、变位系数、齿宽、齿顶高系数和齿根高系数等参数来定义齿轮。本文研究的内啮合齿轮副的参数如表1所示。对于内啮合齿轮副，小轮采用实心式，大轮需要考虑轮缘厚度。式中为大轮轮缘厚度计算公式，这里轮缘厚度取16 mm。δ0=(2.5∼4)m，m≥810.16578/j.issn.1004.2539.2023.06.004.T001表1内啮合直齿轮副参数Tab. 1Parameters of the internal spur gear pair项目小轮大轮齿数53160模数/mm4.0压力角/（°）20齿高系数0.8顶隙系数0.3齿宽/mm212输入功率/kW600小轮转速/（r/min）1 0002 直齿轮传动修形方法2.1　齿廓修形齿轮齿廓修形参数包括齿顶和齿根修形量及修形长度，常规齿廓修形图坐标在啮合线方向表示，齿廓修形参数确定比较烦琐。为了便于修形加工，本文采用沿齿高方向表示的齿廓修形图，如图1所示。齿顶修形部分和齿根修形部分可以采用抛物线或直线形式。图1中，y1为齿顶最大修形量，y2为齿高方向齿顶修形长度，y3为齿根最大修形量，y4为齿高方向齿根修形长度。另外，考虑加工方便性，采用小轮修形、大轮不修形的方式。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.06.004.F001图1齿廓修形图Fig. 1Diagram of tooth profile modification为了分析齿廓修形参数对承载传动误差的影响，首先需要确定修形参数的变化范围。齿顶和齿根最大修形量分别采用5种取值：0.010 mm、0.015 mm、0.020 mm、0.025 mm和0.030 mm。2.2　螺旋线修形小轮螺旋线修形包括端部倒坡和鼓形修形两种。本文对比分析了这两种修形方式，如图2所示。图2中，y5为最大螺旋线修形量。图2（a）中，y6为螺旋线倒坡修形长度。修形曲线倒坡修形为直线，鼓形修形为抛物线。对于倒坡修形，最大修形量一般为13~35 μm，修形长度为0.25b，b为齿宽。对于鼓形修形，高精度、高可靠度的齿轮，鼓形修形量为10~25 μm，加上制造误差5 μm。图2齿轮螺旋线修形图Fig. 2Diagram of gear helix modification10.16578/j.issn.1004.2539.2023.06.004.F2a1（a）端部倒坡10.16578/j.issn.1004.2539.2023.06.004.F2a2（b）鼓形修形 同样，为了分析螺旋线修形量对承载传动误差的影响，最大螺旋线修形量y5分别采用5种取值：0.010 mm、0.015 mm、0.020 mm、0.025 mm和0.030 mm。分析齿廓修形参数影响时，螺旋线修形采用鼓形修形，修形参数固定；分析螺旋线修形参数影响时，螺旋线修形采用端部倒坡和鼓形修形两种形式对比分析。3 内啮合直齿轮副修形分析3.1　齿廓修形参数对承载传动误差的影响为了对比分析齿面修形对承载传动误差的影响，首先应用Romax软件仿真得到无修形标准齿面承载传动误差，如图3所示。图3中，承载传动误差波动幅值为6.69 μm。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.06.004.F003图3标准齿轮承载传动误差Fig. 3Loaded transmission error of standard gears为分析各齿廓修形参数对承载传动误差的影响，螺旋线采用鼓形修形，鼓形修形量y5保持为0.020 mm，齿廓修形参数分别为以下两种情况：（1）齿顶最大修形量变化，其他修形参数不变，y2=1.0Ld mm、y3=0.020 mm、y4=1.0Lg mm。（2）齿根最大修形量变化，其他修形参数不变，y1=0.020 mm、y2=1.0Ld、y4=1.0Lg mm。以上修形参数分析中，齿顶、齿根修形长度均取为双齿啮合区长度，Ld表示齿顶修形长度，Lg表示齿根修形长度。第一种情况分析结果如图4所示，随着齿顶最大修形量的增加，承载传动误差波动幅值先减小后增大，通过优化齿顶最大修形量可以达到最好的效果。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.06.004.F004图4齿顶最大修形量的影响结果Fig. 4Influence from the maximum amount of tooth top modification第二种情况分析结果如图5所示，对于抛物线修形而言，随着齿根最大修形量的增加，承载传动误差波动幅值减小；但对于直线修形，承载传动误差波动幅值先减小后增大。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.06.004.F005图5齿根最大修形量的影响结果Fig. 5Influence from the maximum amount of tooth root modification3.2　螺旋线修形参数对承载传动误差的影响如前所述，分析螺旋线修形参数影响时，螺旋线修形采用端部倒坡和鼓形修形两种形式对比分析。螺旋线最大修形量变化，其他修形参数不变，y1=0.020 mm、y2=1.0Ld、y3=0.020 mm、y4=1.0Lg、y6=0.25b。分析结果如图6所示，随着螺旋线最大修形量的增大，承载传动误差波动幅值变大，这是轮齿刚度随着修形量的增加而减小造成的。另外，鼓形修形优于端部倒坡。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.06.004.F006图6螺旋线最大修形量的影响结果Fig. 6Influence from the maximum amount of gear helix modification另外，通过对比图6可以看出，合理的修形能有效减小承载传动误差波动幅值。4 修形参数优化设计由于齿廓抛物线修形及螺旋线鼓形修形在工程中应用较多，为了得到较好的修形效果，本文针对齿廓抛物线修形及螺旋线鼓形修形研究修形参数优化设计方法，使得承载传动误差的波动幅值最小。本文采用承载接触分析（Loaded Tooth Contact Analysis，LTCA）方法[11]得到以转角形式表示的承载传动误差。同样，采用小轮修形、大轮不修形的方式，仅优化小轮修形参数；为了取得较好的优化结果，对齿廓最大修形量、修形长度和螺旋线最大修形量进行优化。本文采用的粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是一类基于群体智能的随机优化技术，相对遗传算法而言，二者都是基于群体的迭代搜索，但是PSO算法没有交叉、变异算子，是通过个体之间的协作来搜寻最优解，它利用了生物群体中信息共享的思想。PSO算法易于实现，比较适合工程应用。修形优化参数为y1、y2、y3、y4和y5，粒子定义为Y=[y1 y2 y3 y4 y5]。目标函数f为承载传动误差的波动幅值，采用LTCA计算。粒子群优化算法分5个步骤：①对粒子群中粒子进行随机初始化；②计算每个粒子的适应度（目标函数值）；③计算粒子所经历的最好位置；④对粒子进行进化；⑤判断结束条件（进化到预先设定的代数，否则返回，继续进行）。修形优化流程如图7所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.06.004.F007图7修形优化流程Fig. 7Process of modification optimization优化结果为：y1=28.392 μm、y2=2.139 588 mm、y3=28.91 μm、y4=1.672 763 mm、y5=13.516 μm。采用Romax软件推荐修形设计方法和优化修形设计方法。为了对比分析，将本文修形优化结果和Romax推荐修形和Romax优化修形结果统一在Romax软件平台中仿真分析。Romax推荐修形方式为齿廓单向直线修形方式，不考虑安装误差条件下螺旋线没有修形，修形参数分别为y1=16.08 μm、y2=1.28 mm、y3=16.08 μm和y4=1.08 mm，修形效果如图8所示，承载传动误差波动幅值为6.45 μm。图8Romax 推荐修形分析Fig. 8Analysis of modification recommended by Romax10.16578/j.issn.1004.2539.2023.06.004.F8a1（a）齿面修形拓扑结构10.16578/j.issn.1004.2539.2023.06.004.F8a2（b）承载传动误差 Romax优化修形方式中齿廓和螺旋线都采用抛物线修形。Romax优化修形中选用遗传算法，在与本文优化方法同样优化参数下，Romax优化修形结果为y1=16.98 μm、y2=2.475 512 mm、y3=21.76 μm、y4=2.024 798 5 mm和y5=10.03 μm。修形效果如图9所示，承载传动误差波动幅值为3.10 μm。当然，优化效果与优化参数等有关。图9Romax优化修形分析Fig. 9Analysis of modification optimized by Romax10.16578/j.issn.1004.2539.2023.06.004.F9a1（a）齿面修形拓扑结构10.16578/j.issn.1004.2539.2023.06.004.F9a2（b）承载传动误差 本文优化修形效果如图10所示，齿廓和螺旋线都采用抛物线修形，承载传动误差波动幅值为2.86 μm。修形效果对比如表2所示。由表2可知，本文优化修形设计效果优于Romax 推荐修形和Romax优化修形。图10本文优化修形分析Fig. 10Analysis of modification optimized by the method in this research10.16578/j.issn.1004.2539.2023.06.004.F10a1（a）齿面修形拓扑结构10.16578/j.issn.1004.2539.2023.06.004.F10a2（b）承载传动误差 10.16578/j.issn.1004.2539.2023.06.004.T002表2修形效果对比Tab. 2Comparison of modification effect名称修形方式承载传动误差/μm标准齿轮未修6.69Romax推荐修形齿廓线性修形，螺旋线未修6.45Romax优化修形齿廓抛物线修形，螺旋线鼓形修形3.10本文优化修形齿廓抛物线修形，螺旋线鼓形修形2.865 结论采用Romax软件建立了内啮合短齿高直齿轮模型，分析了内啮合短齿高直齿轮齿廓和螺旋线修形参数对承载传动误差的影响，并研究了修形参数的优化设计方法，获得了以下结论：（1）齿顶、齿根修形量对承载传动误差波动幅值影响是非线性的，因为齿廓修形方式（直线和抛物线修形）不同，齿顶和齿根最大修形量对承载传动误差波动幅值影响有所不同。（2）螺旋线修形对内啮合齿轮副的承载传动误差波动幅值也有影响，鼓形修形效果优于倒坡修形。（3）通过对比分析获知，合理的修形能有效减小承载传动误差波动幅值。（4）本文提出的修形参数优化设计方法能有效减小承载传动误差。本文的研究成果为高传动性能内啮合短齿高直齿轮修形设计提供了依据。