0 引言修正的Grübler-Kutzbach的机构自由度计算公式（简称修正的G-K公式）早已编入中外许多教科书中[1]115-116[2]42-48，并已为众多工程师所熟悉和运用。在机构自由度的计算中，用修正的G-K公式计算组合机构的自由度，有时会产生错误的结果，这给组合机构自由度的计算带来问题。图1（a）所示为曲柄滑块机构与双滑块机构的串联机构，机构自由度为1。其中，曲柄滑块机构与双滑块机构的自由度各为1[1]124，机构串联后，根据运动传递关系，曲柄滑块机构的输出驱动双滑块机构，串联机构的自由度仍为1。用修正的G-K公式进行计算，机构公共约束为3，机构自由度为0，这与机构的实际自由度不符，机构自由度的计算结果是错误的。图2（a）所示为Delta机构与驱动机构的混联机构，电动机1通过主动齿轮2和从动齿轮3驱动Delta机构。其中，Delta机构的自由度为3[1]130-133[3]5-9，每个驱动机构的自由度为1；机构混联后，根据运动传递关系，每个驱动机构的输出驱动Delta机构的1个曲柄4，使混联机构的自由度为3。用修正的G-K公式进行计算，连杆5和连杆6分别有绕其轴线转动的局部自由度，去局部自由度后，机构公共约束为0，机构自由度为-6，这与机构的实际自由度不符，机构自由度的计算结果是错误的。产生上述计算结果错误的原因，是修正的G-K公式只能用于计算1个基本机构的自由度，以及各个基本机构的公共约束相同的组合机构的自由度。对于图1、图2中基本机构的公共约束不同的组合机构，需要用该修正公式导出组合机构自由度的计算公式，并使用公式的注意事项，才能得到正确的计算结果。图1曲柄滑块机构与双滑块机构Fig. 1Crank slider mechanism and double slider mechanism1.机架；2.曲柄；3.连杆；4.水平滑块；5.垂直滑块。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.05.011.F1a1（a）曲柄滑块机构与双滑块机构的串联机构10.16578/j.issn.1004.2539.2023.05.011.F1a2（b）曲柄滑块机构10.16578/j.issn.1004.2539.2023.05.011.F1a3（c）双滑块机构 图2Delta机构与其驱动机构Fig. 2Delta mechanism and driving mechanism1.电动机；2.主动齿轮；3.从动齿轮；4.摇杆；5.上连杆；6.下连杆；7.动平台。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.05.011.F2a1（a）Delta机构与驱动机构的混联机构10.16578/j.issn.1004.2539.2023.05.011.F2a2（b）Delta机构10.16578/j.issn.1004.2539.2023.05.011.F2a3（c）驱动机构 机构自由度的计算公式有很多[1]118-119[2]93-96[4-5][6]51-63[7]，主要是针对基本机构的自由度进行计算。其中，用到螺旋理论[1]121-135[2]104-108、机构的拓扑结构学[6]48-54、线性变换理论[8]、群论[9]等。相比较之下，修正的G-K公式比较简单，能较好地用于基本机构自由度的计算[1]115-116 [2]42-48，90-95[10]，且易于工程技术人员学习和应用，这为组合机构自由度的计算提供了基础。为了准确计算组合机构的自由度，并考虑计算组合机构自由度的方法便于工程技术人员学习和应用，本文根据修正的G-K公式导出组合机构自由度的计算公式，提出计算组合机构自由度的注意事项，划分了组合机构，给出了由两个基本机构组合的机构自由度的算例。1 组合机构自由度的计算公式及其使用注意事项1.1　组合机构自由度的计算公式设机构共有N个构件，除去机架，共有n=N-1个活动构件；g为运动副的数目；fi为第i个运动副的自由度；λ为公共约束；v为冗余约束数；ζ为局部自由度数；F为机构的自由度。则修正的G-K公式为[1]119[2]93F=(6-λ)(n-g)+∑i=1gfi+v-ζ （1）不同或相同的机构组合在一起，成为组合机构。因此，可将组合机构分为多个基本机构，由式（1）分别计算其自由度后再相加，得到整个机构自由度的计算公式及其自由度。将机构的活动构件数n分为n1和n2，n=n1+n2，则机构为n1和n2个活动构件的组合机构。再将机构的运动副数g分为g1和g2，g=g1+g2；公共约束λ分为λ1和λ2，λ=λ1⋃λ2；冗余约束数v分为v1和v2，v=v1+v2；局部自由度数ζ分为ζ1和ζ2，ζ=ζ1+ζ2。将式（1）分别用于n1和n2个活动构件的机构，再相加，得两个不同公共约束的组合机构自由度的计算公式为F=(6-λ1)(n1-g1)+∑i=1g1fi+v1-ζ1+        (6-λ2)(n2-g2)+∑i=1g2fi+v2-ζ2=F1+F2 （2）式中，F1为n1个活动构件的机构自由度，F1=(6-λ1)(n1-g1)+∑i=1g1fi+v1-ζ1；F2为n2个活动构件的机构自由度，F2=(6-λ2)(n2-g2)+∑i=1g2fi+v2-ζ2。如果一个机构由公共约束等于3的平面机构和公共约束数为λ的空间机构组合而成，取机构中平面机构的活动构件数为np，空间机构的活动构件数为nk，则机构的活动构件数n=np+nk。将式（2）中的n1改为np，n2改为nk，g2改为gk；取pL、pH分别为平面低副数和平面高副数。得公共约束等于3的平面机构和公共约束数为λ的空间机构自由度的计算公式为F=3np-2pL-pH+v1-ζ1+(6-λ)(nk-gk)+∑i=1gkfi+v2-ζ2 （3）式（2）是由两个基本机构组合而成的组合机构的自由度计算公式，该式表明，由两个基本机构组合而成的组合机构的自由度等于其基本机构自由度的和。由此扩大到多个基本机构组合而成的组合机构自由度的计算。由多个基本机构组合而成的组合机构自由度，等于其各个基本机构自由度的和，即F=F1+F2+⋯+Fm （4）式中，组合机构共有m个基本机构，Fj=(6-λj)(nj-gj)+∑i=1gjfi+vj-ζj，Fj、nj、gj、λj、vj、ζj分别为第j个基本机构的自由度、活动构件数、运动副数、公共约束、冗余约束数和局部自由度数，j=1，2，…，m。多个基本机构组合而成的组合机构是机构的一般形式，因此，式（4）是机构自由度的一般计算公式。一个机构可能是一个组合机构，也可能是一个基本机构，均可用式（4）计算机构的自由度。当一个机构是基本机构时，式（4）退化为式（1）。1.2　计算组合机构自由度的注意事项由式（1）和式（2），得计算组合机构自由度的注意事项：1）当n1和n2的机构的公共约束的形式相同且相等时，λ1=λ2=λ，g1=g2=g，由式（2）可得式（1），或者说，式（2）退化为式（1），可用式（1）计算组合机构的自由度；当n1和n2的机构的公共约束为0时，λ1=λ2=λ=0，由式（2）也可得式（1），也可用式（1）计算组合机构的自由度；当λ1≠λ2时，式（2）不会退化为式（1），只能用式（2）计算组合机构的自由度，或用式（1）分别计算n1和n2的机构自由度，再根据运动传递关系，得组合n1和n2的机构自由度。2）对于n=g多分支的开链机构，由于n-g=0，式（1）中第1项为0，或将n分为n1和n2，g分为g1和g2，式（2）中第1项和第5项为0，使机构的自由度等于∑i=1gfi，不受机构公共约束的影响。用式（1）或式（2）计算组合机构自由度的结果相同。3）对于含有n1=g1的开链机构的混联机构，n1、g1分别为开链机构的活动构件数和运动副数，由于n1-g1=0，式（2）中第1项为0，使开链机构自由度等于∑i=1g1fi，不受机构公共约束的影响；但开链机构的公共约束影响整个机构的公共约束，仍要用式（2）计算组合机构的自由度。4）当基本机构串联时，机构间联接的构件和运动副可以分别计入n1和g1，也可以分别计入n2和g2。如图2（a）所示的Delta机构与驱动机构的混联机构，摇杆4和转动副E可以计入驱动机构，也可以计入Delta机构，其机构自由度的计算结果不变。其理由如下：设机构间连接的构件数为n0，运动副数为g0，运动副的自由度为∑i=1g0fi，由于n0=g0，n0-g0=0，则有(6-λ1)(n0-g0)=0，(6-λ2)(n0-g0)=0，机构间连接的构件和运动副分别计入n1和g1，或分别计入n2和g2，均不影响机构自由度的计算结果，另将∑i=1g0fi计入∑i=1g1fi中，或计入∑i=1g2fi中，也均不影响机构自由度的计算结果。有了使用组合机构自由度的计算公式的注意事项，不仅扩大了式（1）的使用范围，正确使用式（2），更主要的是方便工程技术人员进行机构自由度的正确计算。1.3　组合机构的划分组合机构的划分是将机构划分成若干个基本机构，这样才能利用式（2），或用构成式（2）的原理，得到式（3）、式（4）的组合机构自由度的计算公式，计算组合机构的自由度。基本机构是指除了冗余约束、冗余约束支链和局部自由度外，构件和运动副不能减少的机构。进一步说，减少构件和运动副后，机构的运动发生变化。当基本机构具有一定的主动件时，基本机构的各构件具有确定的运动。根据基本机构的定义，进行组合机构的划分。此外，根据组合机构类型，也有助于组合机构的划分。根据组合机构的基本机构间的联接，组合机构有串联、并联和混联机构，分别由基本机构串联、并联和混联构成。图1（a）为曲柄滑块机构与双滑块机构串联。图2（a）为Delta机构与驱动机构混联。图3（a）为3-RPS机构和空间四杆机构并联。根据机构支链的独立性，组合机构分为独立支链和主机构。在组合机构中，具有独立运动输入的运动副的运动链为独立支链，如图3（a），当3-RPS机构不动时，空间四杆机构仍可运动，因此，空间四杆机构为独立支链，这也是划分独立支链的方法。与独立支链一起构成组合机构的3-RPS机构，为主机构。独立支链是组合机构中的基本机构。2 组合机构自由度的计算示例计算组合机构的自由度时，先将组合机构划分为基本机构，或划分为主机构和独立支链，再根据使用组合机构自由度的计算公式的注意事项，用式（2）计算机构的自由度，或用式（1）分别计算基本机构的自由度，再组合各基本机构的自由度，得组合机构总的自由度。[例1] 计算图1~图3中组合机构自由度。图33-RPS机构与空间四杆机构Fig. 33-RPS mechanism and space four-bar mechanism1.定平台；2.液压缸；3.活塞杆；4.动平台；5.曲柄； 10.16578/j.issn.1004.2539.2023.05.011.F3a1（a）3-RPS机构与空间四杆机构的并联机构10.16578/j.issn.1004.2539.2023.05.011.F3a2（b）3-RPS机构（c）空间四杆机构 图1中，曲柄滑块机构的公共约束为3，双滑块机构的公共约束为2[1]124，这是两个公共约束不等的基本机构串联，用式（2）进行计算，并将机构间联接的水平滑块4和移动副D计入曲柄滑块机构，得机构自由度F=1。图2中，Delta机构的公共约束为0[3]5-9，驱动机构的公共约束为3，这是公共约束不等的4个基本机构混联，用式（4）进行计算，并将机构间联接的曲柄4和转动副E计入驱动机构，得机构自由度F=3。图3中，3-RPS机构的公共约束为0[1]117，空间四杆机构的公共约束为0，这是两个公共约束均为0的机构并联，构件6有1个绕其轴线转动的自由度，用式（1）或式（2）进行计算，得机构自由度F=4。[例2] 计算图4（a）中球面四杆机构与平面四杆机构的串联机构自由度[平面四杆机构在垂直于纸面的平面内，图4（a）中的平面四杆机构转过90°绘制]。图4中，球面四杆机构和平面四杆机构的公共约束均为3[1]123-125，但公共约束的形式不同，要用式（2）进行计算，将机构间联接的曲柄4和转动副D计入球面四杆机构，得机构自由度F=1。图4球面四杆机构与平面四杆机构Fig. 4Spherical four-bar mechanism and planar four-bar mechanism1.机架；2.空间曲柄；3.空间连杆；4.曲柄；5.连杆；6.摇杆。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.05.011.F4a1（a）球面四杆机构与平面四杆机构的串联机构10.16578/j.issn.1004.2539.2023.05.011.F4a2（b）球面四杆机构10.16578/j.issn.1004.2539.2023.05.011.F4a3（c）平面四杆机构 [例3] 计算图5所示共移动副的两个两平移并联机构的自由度。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.05.011.F005图5共移动副的两个两平移并联机构Fig. 5Two translational parallel mechanisms with a common moving pair1.机架；2.左滑块；3.左下连杆；4.左上连杆；5.左动平台；6.中间滑块；7.中间下连杆；8.中间上连杆；9.右动平台。两平移并联机构的公共约束为3，因基本机构的公共约束均为3，且公共约束的形式相同，可用式（1）或式（2）进行计算，得机构自由度F=3。从上例看出，在组合机构自由度的计算中，根据注意事项，正确使用式（1）或式（2），可得组合机构自由度的正确计算结果。这也方便工程技术人员进行机构自由度的计算。3 结论1）修正的G-K公式只能用于1个基本机构或各个基本机构的公共约束相同的机构自由度的计算。2）对于组合机构，用组合机构自由度的公式计算其自由度，可直接得到计算结果；或分别计算各基本机构的自由度，再根据运动传递关系，得组合各基本机构的自由度，进而得到机构的总自由度。3）开链机构的自由度不受机构公共约束的影响，但开链机构的公共约束影响整个机构的公共约束，影响组合机构自由度的计算结果。4）组合机构自由度的计算公式是机构自由度的一般计算公式。由多个基本机构组合而成的组合机构自由度，等于其各个基本机构自由度的和。