0 引言齿轮-轴-轴承系统因其瞬时传动比稳定、传动效率高、寿命长等优点，广泛应用于现代机械工业的传动机构中[1]。但由于装配、疲劳、磨损、温度等不利因素的影响，常常造成轴承外圈与轴承座之间的配合间隙[2-3]。对于高速旋转的轴承，当出现配合间隙后，在轴承外圈和轴承座的连接面之间会产生碰撞和摩擦，易导致轴承松动、不平衡、不对中等故障的发生[4-5]。另外，在齿轮-轴-轴承传动系统中，齿轮副受到有配合间隙轴承振动的影响[6]，容易产生传动系统的复合故障，严重影响系统的传动性能和使用寿命[7]。而且，系统产生的振动响应变得更加复杂，增加了对传动系统运行状态的识别难度。因此，有必要建立齿轮-轴-配合间隙轴承系统动力学模型，研究轴承与轴承座之间配合间隙对传动系统振动响应的影响。针对轴承出现配合间隙后的振动特性，大量国内外学者开展了相关研究。Tallian等[8]研究了配合间隙对轴承振动响应的影响，发现轴承振动幅值随着配合间隙的增加而增加。通过建立的数学模型，Kahraman[9]研究了行星齿轮系中齿轮副在轴承配合间隙影响下的载荷分布和啮合刚度。基于该模型，Guo等[10]研究了具有轴承配合间隙的行星齿轮箱中的齿楔问题。Chen等[11]建立了考虑轴承配合间隙和太阳轮裂纹故障的行星齿轮系动力学模型。Tomović[12]建立了滚动轴承配合间隙和载荷的计算模型，并通过该模型进一步分析了配合间隙对载荷分布的影响。Inagaki等[13]考虑了旋转部件和静止部件之间的径向间隙，发现当轴承外圈与轴承座之间存在径向间隙时，会产生非线性共振和自激振动，并研究了自激振动的特性和产生机制。Tiwari等[14]对不同支撑形式的球轴承平衡刚性转子进行模拟，研究了轴承径向游隙对转子振动响应的影响。当轴承外圈与轴承座之间存在配合间隙时，会引起传动系统的其他故障，如连接件松动和非线性振动问题。Chu等[15]在研究支座松动时考虑了分段线性刚度和阻尼，并利用打靶法和Floquet理论得到系统的周期解，并分析了周期解的稳定性。Behzad等[16]使用能量法建立旋转盘松动的轴承-转子系统模型，发现松动盘进行陀螺运动后，转子的响应可以表示为松动盘与轴之间间隙的函数。Lu等[17]通过轴承座的预紧螺栓模拟轴承松动，研究了转子系统的松动失效，并通过频谱和轴轨迹分析了轴承的非线性响应，发现转子松动后会产生分数次谐波频率和多次谐波频率。目前，国内外学者在对传动系统振动响应进行研究时建立的模型大多集中在单个齿轮副系统或单个轴承系统上，鲜有将齿轮-轴-轴承系统进行综合考虑。在齿轮-轴-轴承系统中，轴承外圈与轴承座的配合间隙对系统振动响应有着非常重要的影响，而这一问题为大多数研究人员所忽视。为此，本文建立了36自由度的齿轮-轴-配合间隙轴承系统动力学模型，结合齿轮副系统和轴承系统，研究了轴承外圈与轴承座之间配合间隙对齿轮-轴-轴承系统振动响应的影响；并通过实验验证了所建立模型和对既得结果分析的正确性，为工程中实际问题提供理论基础。1 齿轮-轴-配合间隙轴承系统动力学模型1.1　模型假设为了简化模型，仅考虑齿轮副和轴承的主要影响因素，忽略次要影响因素。作如下假设：（1）当轴承外圈与轴承座出现配合间隙时，轴承座固定，轴承外圈具有径向自由度。轴承的内圈随传动轴旋转，提取轴承谐振器的振动响应作为分析对象。（2）只考虑滚道与滚子之间的纯滚动。（3）轴承发生弹性变形，且满足Hertz接触理论。1.2　齿轮-轴-轴承系统模型假设轴承1外圈与轴承座之间存在配合间隙，利用轴承谐振器模拟轴承端盖处的振动。建立如图1所示的36自由度齿轮-轴-轴承系统振动模型，根据拉格朗日方程，系统的动力学方程如下：10.16578/j.issn.1004.2539.2023.04.001.F001图1齿轮-轴-轴承系统动力学模型Fig. 1Dynamic model of the gear-shaft-bearing system输入轴运动方程为If 1θ¨f 1+cf 1(x˙s1-x˙pin)+kf 1(θf 1-θpin)=M1 （1）支撑轴承1运动控制方程为ms1x¨s1+cs1(x˙s1-x˙pin)+ks1(xs1-xpin)+fx1=0ms1y¨s1+cs1(y˙s1-y˙pin)+ks1(ys1-ypin)+fy1=0mp1x¨p1+cp1x˙p1+kp1xp1-fx1-Fx=0mp1y¨p1+(cp1+cr1)y˙p1+(kp1+kr1)yp1-kr1yr1-cr1y˙r1-fy1+Fy=0mr1y¨r1+cr1(y¨r1-y˙p1)+kr1(yr1-yp1)=0 （2）主动轮运动控制方程为Ipinθ¨pin-cf 1(θ˙f 1-θ˙pin)-kf1(θf1-θpin)=-RpinFMmpinx¨pin+cs1(x˙pin-x˙s1)+cs2(x˙pin-x˙s2)+ks1(xpin-xs1)+ks2(xpin-xs2)=0mpiny¨pin+cs1(y˙pin-y˙s1)+cs2(y˙pin-y˙s2)+ks1(ypin-ys1)+ks2(ypin-ys2)=FM （3）支撑轴承2运动控制方程为ms2x¨s2+cs2(x˙s2-x˙pin)+ks2(xs2-xpin)+fx2=0ms2y¨s2+cs2(y˙s2-y˙pin)+ks2(ys2-ypin)+fy2=0mp2x¨p2+cp2x˙p2+kp2xp2-fx2=0mp2y¨p2+(cp2+cr2)y˙p2+(kp2+kr2)yp2-kr2yr2-cr2y˙r2-fy2=0mr2y¨r2+cr2(y˙r2-y˙p2)+kr2(yr2-yp2)=0 （4）支撑轴承3运动控制方程为ms3x¨s3+cs3(x˙s3-x˙ge)+ks3(xs3-xge)+fx3=0ms3y¨s3+cs3(y˙s3-y˙ge)+ks3(ys3-yge)+fy3=0mp3x¨p3+cp3x˙p3+kp3xp3-fx3=0mp3y¨p3+(cp3+cr3)y˙p3+(ks3+kr3)yp3-kr3yr3-cr3y˙r3-fy3=0mr3y¨r3+cr3(y˙r3-y˙p3)+kr3(yr3-yp3)=0 （5）从动轮运动控制方程为Igeθ¨ge-cf 2(θ˙f 2-θ˙ge)-kf 2(θf 2-θge)=RgeFMmgex¨ge+cs3(x˙ge-x˙s3)+cs4(x˙ge-x˙s4)+ks3(xge-xs3)+ks4(xge-xs2)=0mgey¨ge+cs3(y˙ge-y˙s3)+cs4(y˙ge-y˙s4)+ks3(yge-ys3)+ks4(yge-ys4)=0 （6）支撑轴承4运动控制方程为ms4x¨s4+cs4(x˙s4-x˙ge)+ks4(xs4-xge)+fx4=0ms4y¨s4+cs4(y˙s4-y˙ge)+ks4(ys4-yge)+fy4=0mp4y¨p4+(cp4+cr4)y˙p4+(kp4+kr4)yp4-kr4yr4-cr4y˙r4-fy4=0mr4y¨r4+cr4(y˙r4-y˙p4)+kr4(yr4-yp4)=0 （7）输出轴运动控制方程为If 2θ¨f 2+cf 2(θ˙f 2-θ˙ge)+kf 2(θf 2-θge)=-M2 （8）式中，mpin、mge、ms、mp和mr分别为主动轮、从动轮、支撑轴承内圈、轴承外圈和轴承谐振器的质量；If 1、If 2、Ipin和Ige分别为电动机、负载、主动轮和从动轮的转动惯量；θf 1、θf 2、θpin和θge分别为电动机转角、负载转角、主动轮转角和从动轮转角；xpin、xge、xs、xp分别为主动轮、从动轮、各轴承内圈、外圈在x方向的位移；ypin、yge、ys、yp和yr分别为主动轮、从动轮，各轴承内圈、外圈和轴承谐振器在y方向的位移；cf 1、cf 2、cs、cp、cr分别为输入轴、输出轴、轴承内圈、轴承外圈、轴承谐振器的支撑阻尼；kf 1、kf 2、ks、kp、kr分别为输入轴、输出轴、轴承内圈、轴承外圈、轴承谐振器的支撑刚度；M1、M2分别为输入转矩和输出转矩；fx、fy分别为各轴承在x方向和y方向的非线性Hertz接触力。fx、fy的计算公式为fx=kb∑i=1nb(γiδincos θi)fy=kb∑i=1nb(γiδinsin θi) （9）式中，kb为滚动体与滚道接触刚度；i为滚动体序号；nb为滚动体个数；n取1.5；γi为系数，用来判断滚动体与滚道的接触，其表达式为γi=1     δi00        其他 （10）θi为滚动体方位角，表达式为θi=2π(i-1)nb+(1-dbdm)ωs2t+θ0 （11）式中，db为滚动体直径；dm为轴承节圆直径；ωs为轴承转速；θ0为保持架初始相位角；t为时间。δi为接触变形，表达式为δi=(xs-xp)cos θi±(ys-yp)sin θi-co （12）式中，co为轴承径向游隙。FM为两齿轮之间非线性啮合力，可由式（13）计算。其中，Fk和Fc分别为啮合轮齿间的弹性啮合力和黏性啮合力；Rb1和Rb2分别为主动轮和从动轮基圆半径。其计算公式为FM=Fk+FcFk=kt(Rb1θ1-Rb2θ2-ypin+yge)Fc=ct(Rb1θ˙1-Rb2θ˙2-y˙pin+y˙ge) （13）e˜t为齿轮副的传动误差，计算公式为e˜t=eo+emsin(2πfmt+φ) （14）式中，eo为齿轮副的平均传动误差；em为传动误差的峰值；fm为齿轮副的啮合频率。1.3　齿轮副啮合刚度计算模型啮合刚度作为齿轮副中最主要的振动激励源，对齿轮副的振动响应有着重要的影响。如图2所示，建立齿轮副啮合刚度计算悬臂梁模型，根据势能法推导齿轮副啮合刚度计算方程。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.04.001.F002图2悬臂梁模型Fig. 2Cantilever beam model弯曲变形能Ub：Ub=∫0d[Fbd-x-Fah]22EIsdx=F22kb=∫RbRa[Fcos θcos α1d-x-Fcos θsin α1h]22EIsdx （15）剪切变形能Us：Us=∫0d(1.2Fb)22GAsdx=F22ks=∫RbRa(1.2Fcos θcos α1)22GAsdx （16）径向压缩变形能Ua：Ua=∫0dFa22EAsdx=F22ka=∫RbRa(Fcos θsin α1)22EAsdx （17）As和Is分别为截面积和惯性矩，计算式分别为As=2hxbIs=(2hxb)312 （18）则齿轮副的综合啮合刚度计算式为1kt=∑i=12(1kb1,i+1ks1,i+1ka1,i+1kh,i+1kf 1,i+1kb2,i+1ks2,i+1ka2,i+1kf 2,i)     双齿1kb1+1ks1+1ka1+1kh,i+1kf 1+1kb2+1ks2+1ka2+1kh+1kf 2                单齿 （19）式中，kf和kh分别为齿轮副基体形变造成的刚度和Hertz接触刚度，由文献[18]和文献[19]中的模型计算。1.4　轴承配合间隙模型图3所示为轴承配合间隙的模型。图3中，δ为外圈与轴承座的配合间隙；O1为轴承座孔中心；O2为外圈中心；β为轴承外圈与轴承座碰撞点的角位置；Pc为外圈法向碰撞力；Pf为切向摩擦力。图3轴承配合间隙模型Fig. 3Bearing fit clearance model10.16578/j.issn.1004.2539.2023.04.001.F3a1（a）受力分解10.16578/j.issn.1004.2539.2023.04.001.F3a2（b）速度分解当轴承外圈与轴承座出现配合间隙后，假设轴承座依然固定，则外圈相对于轴承座的径向位移r为r=xp1cos β+yp1sin β （20）当径向位移r小于配合间隙δ时，轴承与轴承座之间不发生碰撞和摩擦，有Fx=0Fy=0        xp12+yp12≤δ （21）当径向位移r大于配合间隙δ时，就会产生碰撞和摩擦。则外圈相对于轴承座的切向速度vT为vT=x˙p1sin β+y˙p1cos β （22）接触点的角位置β满足以下方程sin β=yp1r=yp1xp12+yp12cos β=xp1r=xp1xp12+yp12 （23）采用Hertz理论中的非线性接触和库仑摩擦模型计算配合间隙产生的碰撞力Pc和摩擦力Pf，有Pc=[(r-δ)L20.83.83×10-5]109+cNr˙Pf=fPcsign(vT)    xp12+yp12δ （24）式中，cN为阻尼系数；f为摩擦因数。化简后，轴承外圈配合间隙在x方向和y方向引起的激振力为FxFy=xp1xp12+yp12fys1sign(x˙p1yp1+y˙p1xp1)xp12+yp12yp1xp12+yp12fxs1sign(x˙p1yp1+y˙p1xp1)xp12+yp122×2[(xp12+yp12-δxp12+yp12)L20.83.83×10-5xp12+yp12]109+cN(x˙p1yp1+y˙p1xp1)xp12+yp12[(xp12+yp12-δxp12+yp12)L20.83.83×10-5xp12+yp12]109+cN(x˙p1yp1+y˙p1xp1)xp12+yp122×1 （25）当轴承外圈和轴承座之间产生配合间隙后，轴承外圈悬空，轴承座对轴承外圈无支撑作用，轴承座和轴承外圈之间的碰摩对轴承外圈起支撑作用，有kp1=0cp1=0 （26）1.5　参数设置和模型求解利用Runge-Kutta法求解齿轮-轴-轴承系统的动力学方程，工作步和初始状态分别设置为10-5 s和0。齿轮副的主要参数如表1所示，轴承型号和故障频率如表2所示，所建立的齿轮-轴-轴承系统动力学模型的主要参数如表3所示。求解后提取轴承1谐振器的位移yr1进行分析。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.04.001.T001表1齿轮副主要参数Tab. 1Main parameters of the gear pair参数主动轮从动轮模数m/mm2.52.5齿数z2381压力角α/（°）2020齿宽b/mm2626杨氏模量E/GPa206206泊松比0.30.310.16578/j.issn.1004.2539.2023.04.001.T002表2轴承型号和故障频率Tab. 2Bearing types and defect frequencies轴承型号外滚道故障频率[20]fo/Hz轴承1630481.13轴承2630481.13轴承3630821.92轴承4630821.9210.16578/j.issn.1004.2539.2023.04.001.T003表3齿轮-轴-轴承系统动力学模型主要参数Tab. 3Main parameters of the gear-shaft-bearing system dynamic model参数数值主动轮质量mpin/kg0.96从动轮质量mge/kg2.88主动轮转动惯量Ipin/(kg∙m2)4.365×10-4从动轮转动惯量Ige/(kg∙m2)8.362×10-4输入轴转动惯量If 1/(kg∙m2)0.002 1输出轴转动惯量If 2/(kg∙m2)0.010 5负载/（N/m）25输入轴转频fr1/Hz30传动轴扭转刚度kf1，kf2/(Nm/rad)4.4×105传动轴扭转阻尼cf 1，cf 2/(Nms/rad)5×105轴承支撑刚度ksj，kpj，krj/(N/m)6.56×107轴承支撑阻尼csj，cpj，crj/(Ns/m)1.8×105阻尼系数cN/(Ns/m)2×105摩擦因数f0.1传动误差峰值em/m3×10-5平均传动误差eo/m2×10-52 结果讨论2.1　时域响应齿轮-轴-轴承系统中轴承1谐振器沿y方向的位移响应如图4所示。由图4（a）可知，当轴承外圈与轴承座之间无配合间隙或配合间隙较小时，齿轮-轴-轴承系统的响应还是比较稳定的。当配合间隙增大时，时域响应受轴承外滚道的幅值调制，齿轮箱的时域响应出现波动，且波动程度随着间隙的增大而增大。提取轴承配合间隙分别为0.01 mm、0.03 mm和0.05 mm时的位移响应绘制成图4（b），可以发现，齿轮箱的时域响应波动明显，响应曲线呈现起伏的特点，位移的最大值随着间隙的增大而增大。提取图4（b）中各响应曲线的中位线，绘制成图4（c）。由图4（c）可知，当外圈与轴承座之间出现配合间隙时，轴承的调幅作用加剧，位移中位线上下波动。随着游隙的增大，波动趋势变得更加严重，相邻峰值之间的频率间隔为轴承外滚道的故障频率。图4齿轮-轴-轴承系统的时域响应Fig. 4Time-domain response of the gear-shaft-bearing system10.16578/j.issn.1004.2539.2023.04.001.F4a1（a）时域位移响应10.16578/j.issn.1004.2539.2023.04.001.F4a2（b）间隙为0.01 mm、0.03 mm和0.05 mm的位移响应比较10.16578/j.issn.1004.2539.2023.04.001.F4a3（c）中位线2.2　频域响应经过快速傅里叶变换后，可以得到齿轮-轴-轴承系统的频域响应，如图5所示。从图5（a）频谱图的低频段（0~2 500 Hz）发现，当轴承外圈与轴承座有配合间隙时，频谱上出现轴承外滚道的故障频率，以及外滚道故障频率的超谐波频率，如10fo1、11fo1、12fo1、18fo1，说明轴承配合间隙会激发出轴承外滚道的超谐波响应，并随着轴承配合间隙的增大，更高阶的超谐波响应会被激发。此外，随着齿轮副的振动，频谱上还出现齿轮副的啮合频率，如fm、2fm、3fm。图5齿轮-轴-轴承系统频域响应Fig. 5Frequency domain response of the gear-shaft-bearing system10.16578/j.issn.1004.2539.2023.04.001.F5a1（a）低频段10.16578/j.issn.1004.2539.2023.04.001.F5a2（b）高频段齿轮箱响应频谱的高频段（2 500~5 000 Hz）如图5（b）所示。在高频段内，频谱主要由齿轮副啮合频率的超谐波频率构成，如4fm、5fm、6fm、7fm。并且随着轴承配合间隙的增加，齿轮副的超谐波响应也会被激发。此外，在齿轮副超谐波频率两侧存在明显的谐波频率，如4fm±fr1、5fm±fr1、6fm±fr1、7fm±fr1，这些谐波频率是由齿轮副的啮合频率和高速轴的旋转频率调制产生的，谐波频率的幅值也随着轴承配合间隙的增大而增大。2.3　传动轴的运动轨迹以上分析了齿轮-轴-轴承系统中齿轮副和轴承的振动特性，下面从高速轴运动轨迹的角度分析齿轮箱的振动特性，如图6所示。图6（a）为轴承1端的高速轴运动轴心轨迹，由于齿轮副啮合刚度在单双齿啮合区间交替时的突变，使得齿轮副啮合过程可以看作是周期性碰撞行为，再加上轴承外圈与轴承座之间的碰摩，导致传动轴的轴心轨迹杂乱无序，并不呈现出一个近似圆形或近似椭圆形的形状。当轴承和轴承座之间没有配合间隙时，高速传动轴的轴线轨迹停留在一定区域内。由于齿轮箱y方向振动是由齿轮副的啮合力和轴承的非线性Hertz力激发，而x方向振动仅由轴承的非线性Hertz力激发，导致高速轴在y方向的位移大于x方向的位移，使得传动轴的轴心轨迹落在一个近似椭圆的区域内。当轴承外圈与轴承座之间存在配合间隙后，齿轮箱的动态特性将受到严重影响，高速轴在x方向和y方向的位图6高速轴的位移Fig. 6Displacement of the high-speed shaft10.16578/j.issn.1004.2539.2023.04.001.F6a1（a）轴轨迹10.16578/j.issn.1004.2539.2023.04.001.F6a2（b）映射到极坐标移都增加了，但齿轮副啮合轮齿间的啮合力受游隙影响，导致高速轴y方向位移的增量大于x方向的增量。并且随着轴承配合间隙的增加，y方向的位移增加更加明显。将图6（a）中轴承轨迹的1个周期映射到极坐标系中，结果如图6（b）所示。齿轮副轮齿进入啮合时会产生碰撞，从而使轴承振动位移产生突变；当轴承没有配合间隙时，在弹性恢复力的作用下，轴承内圈的振动迅速衰减，衰减过程进行一次或较少次。因此，高速轴的位移响应曲线上的冲击峰较少，齿轮副和轴承主要以基频频率振动。当轴承和轴承座之间出现配合间隙时，随着间隙的增大，高速轴的位移量增大，并且高速轴振动经过多次衰减后才能收敛，导致冲击次数增加，极坐标系上峰值数量增多。而峰值的个数与齿轮副和轴承有关，这也是齿轮副和轴承产生超谐波频率响应的主要原因。3 实验验证齿轮-轴-轴承系统试验台如图7（a）所示。实验时，通过对轴承座的锁紧螺栓施加预紧力，调节轴承座与轴承外圈之间的间隙量，直至0.02 mm的塞尺能够自由通过，而0.03 mm的塞尺被阻断，从而实现0.02 mm左右的配合间隙量，如图7（b）所示。齿轮副传动比为23∶81，轴承型号为NSK6304和NSK6308。电动机转速设置为1 800 r/min，制动力矩为25 N∙m。实验所用齿轮副和轴承其他参数与齿轮-轴-轴承系统模型中的设置相同。通过三坐标加速度传感器测量齿轮箱的振动信号，数据采集系统的采样频率为30 kHz。相应测点位于轴承端盖，采集铅垂方向的振动加速度信号，该方向接近齿轮副的LOA方向。最后对测得的齿轮箱时域信号进行小波降噪处理。图7实验设备Fig. 7Experimental equipment10.16578/j.issn.1004.2539.2023.04.001.F7a1（a）齿轮-轴-轴承系统试验台10.16578/j.issn.1004.2539.2023.04.001.F7a2（b）轴承配合间隙求解齿轮-轴-轴承系统动力学模型，所得到y¨b1数值解分别如图8（a）和图8（b）所示；从实验中测得的齿轮箱的加速度响应分别如图8（c）和图8（d）所示。由图8（c）可知，齿轮箱的时域响应受到轴承外滚道故障频率 fo1调制，响应曲线出现波动，相邻两峰之间的频率间隔为轴承外滚道的故障频率fo1。在图8（d）中的响应频谱中，发现频谱主要由轴承外滚道的故障频率和齿轮副的啮合频率以及齿轮副和轴承外滚道的超谐波频率组成，如3fm、4fm、5fm、6fm、7fm、4fo1、5fo1、6fo1，说明轴承配合间隙会激发出齿轮副和轴承外滚道的超谐波响应。通过实验结图8动态响应Fig. 8Response of the gearbox10.16578/j.issn.1004.2539.2023.04.001.F8a1（a）建立模型得到的时域响应10.16578/j.issn.1004.2539.2023.04.001.F8a2（b）建立模型得到的频域响应10.16578/j.issn.1004.2539.2023.04.001.F8a3（c）实验得到的时域响应10.16578/j.issn.1004.2539.2023.04.001.F8a4（d）实验得到的频域响应果和建立模型数值模拟结果的对比和分析，验证了本文所建立的齿轮-轴-配合间隙轴承动力学模型和对结果分析的相对正确性。4 结论为了解释齿轮-轴-配合间隙轴承系统产生的复杂振动信号，建立了含有轴承配合间隙的齿轮-轴-轴承系统动力学模型。该模型结合齿轮副系统与轴承系统，考虑了轴承外圈与轴承座的配合间隙，以及配合间隙引起的碰撞力和摩擦力，并通过Hertz理论中的非线性接触和库仑摩擦模型计算，研究了轴承配合间隙对齿轮-轴-轴承系统振动响应的影响。主要结论如下：（1）当轴承外圈与轴承座之间产生配合间隙后，传动系统的时域响应受到轴承外滚道故障频率的调幅，并且配合间隙越大，调幅现象越严重。（2）由于衰减次数的增加，响应频谱上出现齿轮副和轴承的超谐波频率，传动系统的超谐波响应被激发。随着轴承外圈配合间隙的增加，更高阶的超谐波响应会被激发。