0 引言在齿轮系统动力学研究中，齿轮的刚度激励是造成齿轮传递误差的重要原因，而传递误差是齿轮系统振动噪声的重要激励源。研究齿轮啮合刚度的计算方法与影响因素，对于控制齿轮传动系统振动噪声具有重要意义[1]18。国内外学者在齿轮啮合刚度方面进行了大量的研究，其方法主要有材料力学法、弹性力学法和有限元法等。文献[2]将Hertz接触分析与结构分析相结合，使用线性有限元方法计算了包括齿轮基体刚度的啮合刚度。文献[3]提出了一种考虑轴向变形以及齿廓修缘的斜齿轮啮合刚度解析计算模型。文献[4]提出了基于轮齿承载接触分析、考虑齿轮轴扭转变形的轮齿啮合刚度计算方法。文献[5]在势能法基础上提出一种刚度修正算法，建立了齿根圆与基圆不重合时的变截面悬臂梁模型。文献[6]对比使用两种有限元方法计算了直齿轮轮齿啮合刚度，在动态分析中使用相应的局部坡度刚度，在静态分析中使用平均坡度刚度。文献[7]给出了理想实心直齿轮和斜齿轮时变啮合刚度函数的近似公式。文献[8]2-6在势能法基础上提出了一种刚度修正算法，建立了齿根圆与基圆不重合时两种啮合刚度计算模型，并探讨了螺旋角、模数、齿数、齿宽和压力角等参数对啮合刚度的影响。文献[9]采用矩形刚度的一次谐波近似表示啮合刚度。文献[10]将切片法、离散积分法和势能法相结合，建立包含断层的分析模型，揭示了斜齿轮的齿面剥落和局部断裂对啮合刚度的影响。文献[11]提出了一种计算斜齿轮啮合刚度的累积积分势能法，与有限元法和ISO标准进行比较，验证了所提出的分析方法的准确性。文献[12]为了提高振动响应的精度，参考实际制造过程的齿轮齿廓方程，采用势能法计算了啮合刚度。本文在文献[8]2-6研究的基础上，提出了一种斜齿轮啮合刚度修正算法。该方法考虑了真实加工的齿根过渡曲线，该曲线是由刀具展成运动时齿顶尖角所形成的轨迹线，且齿根过渡曲线与渐开线的交点为渐开线的起始点。在刚度计算时，齿根到渐开线起始点用齿根过渡曲线方程来计算，渐开线起始点到齿顶用渐开线方程来计算，运用该方法计算的啮合刚度与实际更加接近。最后，分析研究了渐开线形状、啮合位置对啮合刚度的影响以及端面重合度、轴向重合度对啮合刚度的影响。1 计算齿根过渡曲线方程用滚刀加工齿轮时，齿轮齿根的过渡曲线是刀具展成运动时齿顶圆角所形成的轨迹线，如图1所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.03.006.F001图1滚刀展成运动包络图Fig. 1Hob generative motion envelope diagram如图2所示，以啮合节点P为原点，建立空间固定坐标系(P-x，y)；以O1为滚刀原点，x1为滚刀节线横轴，y1为齿条中线纵轴，建立滚刀坐标系(O1-x1，y1)；以齿轮中心O2为原点，建立与齿轮固联的坐标系(O2-x2，y2)。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.03.006.F002图2定义坐标系Fig. 2Defined coordinate system根据图3所示几何关系，在滚刀坐标系(O1-x1，y1)内，可以得到滚刀齿顶圆弧A点、B点、C点的法向坐标，其表达式分别如式（1）~式（3）所示。xΑyΑ=0.5πmpn-hap （1）xByB=xA-0.5Spn+haptanαpn+ρ0tan90°-αpn2-δncosαpnyA （2）xCyC=xB-ρ0cos(αpn-γ0)yB+ρ0[1-sin(αpn-γ0)] （3）10.16578/j.issn.1004.2539.2023.03.006.F003图3刀具法向图Fig. 3Tool normal diagram式（1）~式（3）中，mpn为滚刀法向模数；hap为滚刀齿顶高；Spn为滚刀法向齿厚；αpn为主刀刃压力角；ρ0为刀具圆角半径；δn为法向突头量；γ0为主刀刃与过渡刃夹角。滚刀齿顶圆弧上任意位置的法向齿形方程为x1y1=xB-ρ0sinθyB+ρ0(1-cosθ) （4）滚刀齿顶圆弧任意点的法向齿形方程转化到端面齿形的方程为x1ty1t=(xB-ρ0sinθ)/cosβyB+ρ0(1-cosθ) （5）式（4）~式（5）中，0≤θ≤90°-αpn+γ0；β为螺旋角；θ为滚刀齿顶圆角。根据平面啮合原理，当M点成为啮合点时，齿轮由起始位置转过φ2角，则滚刀由起始位置移动距离r2φ2，其表达式为r2φ2=(ρ0sinαC-xC)tanθαC=αpn-γ0 （6）根据坐标变换，将滚刀齿顶圆弧从滚刀坐标系(O1-x1，y1)转化到齿轮坐标系(O2-x2，y2)内，最终得到的齿轮齿根过渡曲线方程为x2y2t2=cosφ2sinφ2r2(sinφ2-φ2cosφ2)-sinφ2cosφ2r2(cosφ2+φ2sinφ2)001x1ty1tt1φ2=[ρ0sin(αpn-γ0)-xC]tanθr2 （7）式中，辅助变量t1、t2均等于1。在齿轮坐标系(O2-x2，y2)内，齿轮渐开线方程为x2=rbsin(ξM(i)-ϕb)-rbcos(ξM(i)-ϕb)y2=rbcos(ξM(i)-ϕb)+rbsin(ξM(i)-ϕb) （8）式中，(x2，y2)为齿轮坐标系(O2-x2，y2)中渐开线上任意一点M的坐标；ξM(i)为齿轮上点M的展开角；ϕb为齿轮基圆齿厚半角；rb为齿轮基圆半径。当齿轮齿根过渡曲线与齿轮渐开线相交时，滚刀齿顶圆角为θ0，齿轮渐开线展角为ξM(0)，交点为渐开线起始点。2 斜齿轮啮合刚度计算根据Hertz理论计算单位齿宽接触刚度，其表达式为kh0=πE4(1-γ2) （9）式中，E、γ分别为材料的弹性模量和泊松比。计算单位齿宽基体柔性变形对应的刚度[13]，其表达式为kf 0(α1)=E/(cos2α1{L*(ufsf)2+M*(ufsf)+P*(1+Q*tan2α1)}) （10）式中，系数L*、M*、P*、Q*可以用多项式函数表示，如式（11）所示。X*=Aiθf2+Bihfi2+Cihfiθf+Diθf+Eihfi+Fi （11）根据图4中几何关系，uf、sf、hfi分别为uf=rbcosα1-rf （12）sf=2rfθf （13）hfi=rfrint （14）10.16578/j.issn.1004.2539.2023.03.006.F004图4单位齿宽齿轮基体刚度示意图Fig. 4Unit tooth width gear matrix stiffness schematic diagram式（11）~式（14）中，X*中的X分别代表L、M、P、Q，Ai、Bi、Ci、Di、Ei、Fi可由表1查得；θf为齿根半角；rf为齿根半径；rb为基圆半径；rint为轴孔半径；α1为啮合点受力方向与竖直方向夹角。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.03.006.T001表1表达式（11）系数Tab. 1Expression （11） coefficientL*M*P*Q*Ai-5.574×10560.111×105-50.952×105-6.204 2×105Bi-1.998 6×10328.1×103185.5×1039.088 9×103Ci-2.301 5×104-83.431×1040.053 8×104-4.096 4×104Di4.770 2×103-9.925 6×10353.3×1037.829 7×103Ei0.027 10.162 40.289 5-0.147 2Fi6.804 50.908 60.923 60.690 4以齿平分线为X轴，基圆与X轴的交点为坐标原点O，建立刚度计算坐标系，如图5所示。利用势能法计算储存在单位齿宽齿轮中的应变能，包括弯曲应变能Ub、剪切应变能Us、压缩应变能Ua，将单位齿宽齿轮应变能分为渐开线部分与齿根部分应变能之和，其表达式分别为Ub=F22kb0=∫0x(α1)[Fb(x(α1)-x)-Fay(α1)]22EIxdx+∫0X1[Fb(x(α1)+x1)-Fay(α1)]22EIx1dx1 （15）Us=F22ks0=∫0x(α1)1.2Fb22GAxdx+∫0X11.2Fb22GAx1dx1 （16）Ua=F22ka0=∫0x(α1)Fa22EAxdx+∫0X1Fa22EAx1dx1 （17）10.16578/j.issn.1004.2539.2023.03.006.F005图5单位齿宽端面刚度示意图Fig. 5Unit tooth width transverse stiffness schematic diagram式（15）~式（17）中，F为啮合点作用力；Fa为啮合点作用力在x方向上分力；Fb为啮合点作用力在y方向上分力；α1为啮合点受力方向与y轴夹角；G、E分别为剪切模量、弹性模量；Ix、Ax分别为渐开线部分截面惯性矩与截面面积；Ix1、Ax1分别为齿根部分截面惯性矩与截面面积；kb0、ks0、ka0分别为单位齿宽弯曲刚度、单位齿宽剪切刚度、单位齿宽压缩刚度；x(α1)、y(α1)分别为啮合点的横纵坐标；x、y分别为渐开线上从啮合起始点到啮合点之间任意点的横纵坐标；X1为齿根最低点的横坐标；x1、y1为将齿根上任意点从齿轮坐标系(O2-x2，y2)内转化到刚度计算坐标系(O-x，y)内的坐标。Fa、Fb，Ix、Ix1和Ax、Ax1，x(α1)、y(α1)，x、y，X1，x1、y1的表达式分别为Fa=Fsinα1Fb=Fcosα1 （18）Ix=112(2y)3Ix1=112(2y2)3Ax=2yAx1=2y2 （19）x(α1)=rb[cosα1+(α1+α2)sinα1-cosα2]-xty(α1)=rb[(α1+α2)cosα1-sinα1] （20）x=rb[cosα-(α2-α)sinα-cosα2]-xty=rb[(α2-α)cosα+sinα] （21）X1=rtcos[arccosrbrt-αt]-rfcosα2 （22）x1y1t1=-10rtcos[arccosrbrf-αt]010001x2y2t2 （23）式（18）~式（23）中，rb为基圆半径；rf为齿根圆半径；rt为渐开线起始点半径；α1为啮合点受力方向与Y轴夹角；α2为齿根端点与X轴夹角；αt为渐开线起始点与Y轴夹角；x2、y2为在齿轮坐标系(O2-x2，y2)内齿根上任意点坐标；xt为在刚度计算坐标系(O-x，y)内渐开线起始点横坐标，表达式为xt=rb[cosαt+(αt+α2)sinαt-cosα2] （24）αt=ak+ξM(0)-tanak-π2z （25）式中，ak为分度圆压力角；ξM(0)为齿轮渐开线起始点展角。将式（18）~式（25）代入到式（15）~式（17），得到单位齿宽弯曲刚度、单位齿宽剪切刚度、单位齿宽压缩刚度，其表达式分别为kb0(α1)=1/(∫-α1-αt3(α2-α)cosα2E[sinα+(α2-α)cosα]×{1+cosα1[(α2-α)sinα-cosα]}2dα+∫0X13{[x(α1)+x1]cosα1-y(α1)sinα1}22Ehx13dx1) （26）ks0(α1)=1/(∫-α1-αt1.2(1+γ)(α2-α)cosαcos2α1G[sinα+(α2-α)cosα]dα+∫0X11.2cos2α1GAx1dx1) （27）ka0(α1)=1/(∫-α1-αt(α2-α)cosαsin2α1E[sinα+(α2-α)cosα]dα+∫0X1sin2α1EAx1dx1) （28）将啮合点与X轴夹角α1转化成啮合点的展长m，其表达式为m=rb(α1+tanak+π2z-ak) （29）式中，z为齿轮齿数；ak为分度圆压力角。斜齿轮的啮合过程与直齿轮有区别，其啮合过程如图6所示。从端面上看，可以将其看作直齿轮，一个轮齿从A点开始进入啮合，B点退出啮合。在啮合面内，由于存在基圆螺旋角，单齿啮合线先增大再减小，一个轮齿在啮合过程中的啮合刚度也是先增大再减小。根据切片积分原理，将啮合面端面边长AB分为N份，每份长度Δx，其表达式为Δx=εαpbtN （30）式中，εα为端面重合度；pbt为端面基节。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.03.006.F006图6斜齿轮啮合过程Fig. 6Helical gear meshing process啮合面齿宽边长AC，每份长度Δy，其表达式为Δy=εαpbtNtanβb （31）式中，βb为基圆螺旋角。单齿接触线长度表达形式分为两种情况讨论，如图7所示。当端面重合度小于轴向重合度时，即εαεβ。单齿啮合线从开始啮入位置A点到经过B点的范围内，单齿刚度为kx(mA+m)=∑i=0mΔy*kx0(mA+Δx*i) （32）式中，mA为啮合线在A点的展长；啮合线从开始啮入位置A点到经过B点的范围为0≤mN；kx(m)分别表示单齿接触刚度kh(m)、单齿基体变形刚度kf(m)、单齿弯曲刚度kb(m)、单齿剪切刚度ks(m)、单齿压缩刚度ka(m)；kx0(m)分别表示单齿单位齿宽接触刚度kh0(m)、单齿单位齿宽基体变形刚度kf 0(m)、单齿单位齿宽弯曲刚度kb0(m)、单齿单位齿宽剪切刚度ks0(m)、单齿单位齿宽压缩刚度ka0(m)。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.03.006.F007图7单齿接触线长度Fig. 7Contact length of single gears（a）εαεβ （b）εαεβ当单齿啮合线位置经过B点时，单齿刚度G的表达式为G=∑i=0NΔy*kx0(mA+Δx*i) （33）单齿啮合线从经过B点到经过C点的范围内，单齿刚度为kx(mA+m)=G （34）式中，啮合线位置从经过B点到经过C点的范围为N≤mM，其中，M=εβ*pbtΔx。单齿啮合线从经过C点到经过D点的范围内，单齿刚度为kx(mA+m)=G-∑i=0m-MΔy*kx0(mA+Δx*i) （35）式中，啮合线从经过C点到经过D点的范围为M≤m(εα+εβ)*pbtΔx，其中，M=εβ*pbtΔx。当端面重合度大于轴向重合度时，即εαεβ。单齿啮合线从开始啮入位置A点到经过C点的范围内，单齿刚度为kx(mA+m)=∑i=0mΔy*kx0(mA+Δx*i) （36）式中，啮合线从开始啮入位置A点到经过C点的范围为0≤mM'，其中，M'=b*tanβbΔx。当单齿啮合位置经过啮合面C点时，单齿刚度G'的表达式为G'=∑i=0M'Δy*kx0(mA+Δx*i) （37）单齿啮合线从经过C点到经过B点的范围内，单齿刚度为kx(mA+m)=G'+∑i=M'mΔy*kx0(mA+Δx*i)-∑i=0m-M'Δy*kx0(mA+Δx*i) （38）式中，啮合线从经过C点到经过B点的范围为M'≤mN，其中，M'=b*tanβbΔx。当单齿啮合位置经过啮合面B点时，单齿刚度H的表达式为H=G'+∑i=M'NΔy*kx0(mA+Δx*i)-∑i=0N-M'Δy*kx0(mA+Δx*i) （39）单齿啮合线从经过B点到经过D点的范围内，单齿刚度为kx(mA+m)=H-∑i=0m-NΔy*kx0(mA+Δx*i) （40）式中，啮合线从经过B点到经过D点的范围为N≤m(εα+εβ)*pbtΔx。根据串并联理论计算单对齿轮副啮合刚度ks(m)，其表达式为ks(mA+m)=11kx1(mA+m)+1kx2(mA+m) （41）式中，1，2分别表示主动齿轮与被动齿轮。斜齿轮副综合啮合刚度是单对齿轮副啮合刚度平移N个端面基节后再做叠加，其表达式为kc(mA+m)=∑n=0z-1ks(mA+m+n*pbt) （42）式中，n为齿轮的第n个轮齿；z为齿数；ks为单对斜齿轮副啮合刚度；pbt为齿轮端面基节；kc为斜齿轮副综合啮合刚度。3 斜齿轮啮合刚度计算实例本节进一步对比分析了本文中啮合刚度计算方法与文献[8]2-6方法以及有限元法的差异。表2、表3分别为待计算的齿轮参数与刀具参数。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.03.006.T002表2齿轮参数Tab. 2Gear parameters参数主动齿轮被动齿轮齿数z2362压力角α/（°）18.518.5螺旋角β/（°）3030基圆半径rb /mm21.959.1齿根圆半径rf /mm20.659.3渐开线起始点半径rt /mm22.0960.84啮合点与Y轴夹角α1/（°）3.1~31.412.3~22.8渐开线起始点夹角αt /（°）-0.610.24齿根半角α2 /（°）7.842.9弹性模量E/GPa206206剪切模量G/GPa117.6117.6啮合起始点展长mA /mm3.214.8基圆螺旋角βb/（°）28.328.3端面基节pbt /mm5.995.99端面重合度εα1.81.8轴向重合度εβ1.711.71有效齿宽b/mm191910.16578/j.issn.1004.2539.2023.03.006.T003表3刀具参数Tab. 3Tool parameters参数主动滚刀被动滚刀法向模数mpn /mm1.731.73滚刀齿顶高hap /mm3.813.21滚刀法向齿厚Spn /mm2.722.73主刀刃压力角αpn /（°）1415主刀刃与过渡刃夹角γ0/（°）67法向突头量δn /mm0.120.14刀具圆角半径ρ0 /mm0.6740.84刀具圆角θ/（°）0-840-83利用本文提出的斜齿轮啮合刚度计算方法，依据式（25）~式（27）计算主动齿轮、被动齿轮的单位齿宽的弯曲刚度kb01、kb02，如图8所示。主动齿轮、被动齿轮的单位齿宽的剪切刚度ks01、ks02，如图9所示。主动齿轮、被动齿轮的单位齿宽的压缩刚度ka01、ka02，如图10所示。依据式（9）计算单位齿宽的接触刚度kh0=1.77×108 N/m。依据式（10）计算主动齿轮、被动齿轮的单位齿宽的基体变形刚度kf01、kf02，如图11所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.03.006.F008图8单位齿宽弯曲刚度Fig. 8Bending stiffness per unit tooth width（a）主动齿轮 （b）被动齿轮10.16578/j.issn.1004.2539.2023.03.006.F009图9单位齿宽剪切刚度Fig. 9Shearing stiffness per unit tooth width（a）主动齿轮 （b）被动齿轮10.16578/j.issn.1004.2539.2023.03.006.F010图10单位齿宽压缩刚度Fig. 10Axial compressive stiffness per unit tooth width（a）主动齿轮 （b）被动齿轮10.16578/j.issn.1004.2539.2023.03.006.F011图11单位齿宽基体变形刚度Fig. 11Fillet-foundation stiffness per unit tooth width（a）主动齿轮 （b）被动齿轮依据式（30）~式（38）计算主动齿轮、被动齿轮单齿弯曲刚度kb1、kb2，如图12所示。主动齿轮、被动齿轮单齿剪切刚度ks1、ks2，如图13所示。主动齿轮、被动齿轮单齿压缩刚度ka1、ka2，如图14所示。单齿接触刚度kh，如图15所示。主动齿轮、被动齿轮单齿基体变形刚度kf1、kf2，如图16所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.03.006.F012图12单齿弯曲刚度Fig. 12Bending stiffness of a single tooth（a）主动齿轮 （b）被动齿轮10.16578/j.issn.1004.2539.2023.03.006.F013图13单齿剪切刚度Fig. 13Shearing stiffness of a single tooth（a）主动齿轮 （b）被动齿轮10.16578/j.issn.1004.2539.2023.03.006.F014图14单齿压缩刚度Fig. 14Axial compressive stiffness of a single tooth（a）主动齿轮 （b）被动齿轮10.16578/j.issn.1004.2539.2023.03.006.F015图15单齿接触刚度Fig. 15Contact stiffness of a single tooth10.16578/j.issn.1004.2539.2023.03.006.F016图16单齿基体变形刚度Fig. 16Fillet-foundation stiffness of a single tooth（a）主动齿轮 （b）被动齿轮依据式（41）计算单对齿轮副啮合刚度ks，如图17虚线所示。依据式（42）计算斜齿轮副综合啮合刚度kc，如图17实线所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.03.006.F017图17斜齿轮副啮合刚度Fig. 17Meshing stiffness of the helical gear pair图18所示为本文方法与文献[8]2-6方法计算的齿轮端面刚度对比结果。齿轮端面刚度k0包含单位齿宽弯曲刚度kb0、单位齿宽剪切刚度ks0、单位齿宽压缩刚度ka0、单位齿宽接触刚度kh0以及单位齿宽基体变形刚度kf0，其表达式如式（43）所示。从图18可以看出，主动齿轮基圆半径大于齿根圆半径，本文中算法渐开线起始点半径要大于基圆半径，因此，刚度结果稍小于文献[8]6-7刚度结果。被动齿轮基圆半径小于齿根圆半径，文献[8]2-6算法未考虑齿根过渡曲线，因此，本文中刚度计算结果要小于文献[8]6-7刚度结果。k0=11kb0+1ks0+1ka0+1kh0+1kf0 （43）10.16578/j.issn.1004.2539.2023.03.006.F018图18端面刚度Fig. 18Transverse stiffness图19所示为用本文中方法、有限元方法以及文献[8]2-6方法计算斜齿轮副啮合刚度的对比结果。可知，本文中方法与有限元方法最为接近。文献[8]2-6没有考虑渐开线起始点，尤其当基圆半径小于齿根圆半径时，齿根圆以上均为渐开线，然而，实际齿轮渐开线是从渐开线起始点开始，在齿根圆到渐开线起始点之间为齿根过渡曲线。因此，本文中方法计算的啮合刚度要小于文献[8]2-6计算的啮合刚度。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.03.006.F019图19斜齿轮副综合啮合刚度Fig. 19Comprehensive meshing stiffness of the helical gear pair表4所示为用有限元方法、本文中方法以及文献[8]2-6方法计算斜齿轮副平均啮合刚度误差的对比结果。相对于有限元方法，本文中方法计算的斜齿轮副平均啮合刚度误差为1.3%，而文献[8]2-6方法由于没有考虑渐开线起始点以及齿根过渡曲线，因此，其计算的斜齿轮副平均啮合刚度误差为4.3%。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.03.006.T004表4斜齿轮平均啮合刚度误差对比表Tab. 4Comparison table of average meshing stiffness errors of helical gears平均刚度/（108 N/m）误差/%有限元方法4.60本文方法4.661.3文献[8]方法4.84.34 斜齿轮参数对啮合刚度及传递误差影响在不考虑传动轴、轴承、箱体弹性变形时，齿轮系统可以简化成沿啮合线方向的时变弹簧系统，等效动力学模型如图20所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.03.006.F020图20齿轮系统动力学模型Fig. 20Dynamic model of the helical gear pair齿轮副动力学方程为[1]157mx¨+cx˙+kcx=W （44）式中，x为两齿轮沿啮合线上的相对位移；c为齿轮副的阻尼系数；kc为斜齿轮副综合啮合刚度；W为等效载荷。等效载荷W为W=TpRp=TgRg （45）式中，Tp、Tg分别为主、被动齿轮受到的力矩；Rp、Rg分别为主、被动齿轮基圆半径。忽略动态项（惯性力项和阻尼力项），则可以得到传递误差为x=TpRp*kc （46）从式（46）看出，斜齿轮副综合啮合刚度的平均值越大，齿轮副受载后抵抗变形的能力越强。随着新能源汽车的普及，减速箱齿轮所受转矩范围越来越大；而啮合刚度平均值越高，齿轮在较大转矩下变形也越小，越能适用于更宽的转矩范围。由于齿轮啮合刚度是随时间周期性变化的，因此，时变啮合刚度波动越小，齿轮的传递误差峰峰值越小，齿轮受到的动态激励越小，NVH性能越好。齿轮设计要考虑综合性能，尤其是对于汽车变速箱齿轮，需要考虑强度、空间布置、成本、平台化、燃油经济性、动力性以及NVH性能等。在齿轮系统设计时，中心距、速比已确定；而中心距受到齿数、模数、螺旋角的影响。因为各参数之间相互耦合，单一去研究齿数、模数、螺旋角对啮合刚度的影响对实际工程没有意义。因此，本文中从渐开线形状、啮合位置、端面重合度、轴向重合度几个方向研究对啮合刚度与传递误差的影响。4.1　渐开线形状的影响表5与图21所示为不同压力角时的齿轮参数与啮合刚度。由于压力角决定渐开线形状，当压力角增大时，渐开线曲率半径会变大，齿形会变胖，从而提高了齿轮的端面刚度。随着压力角由16°增加到20°，啮合线长度增加，端面基节减小，端面重合度会增大。当压力角为22°时，啮合线长度会减小，因此，端面重合度会减小。由于端面刚度与端面重合度的综合影响，压力角由16°增加到22°时，平均刚度先增大再减小，当输入转矩为100 N·m时，传递误差峰峰值先减小后增大。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.03.006.T005表5改变压力角方案Tab. 5Changed pressure angle scheme参数名称方案1方案2方案3方案4压力角/（°）16182022啮合起始点/mm4.754.7184.6826.017啮合终止点/mm13.46913.6913.95914.09端面基节/mm6.0956.0125.925.82端面重合度1.431.51.571.387平均刚度/（108 N/m）3.884.254.554.49传递误差峰峰值（100 N·m）/μm1.51.331.231.310.16578/j.issn.1004.2539.2023.03.006.F021图21不同压力角的啮合刚度Fig. 21Meshing stiffness at different pressure angles4.2　啮合起始点、终止点位置的影响为了研究啮合线位置对啮合刚度的影响，改变齿顶高系数、齿根高系数，从而改变啮合起始点（SAP）与啮合终止点（EAP）在不同位置，并且保证EAP与SAP差值保持不变，从而保证端面重合度不变。图22所示为啮合位置分别为SAP（3.5 mm）- EAP（14.3 mm）、SAP（3.3 mm）-EAP（14.1 mm）、SAP（3.1 mm）-EAP（13.9 mm）时啮合刚度的变化。齿轮副节点展长为8.7 mm。当啮合位置更靠近节点时，即啮合位置为SAP（3.3 mm）-EAP（14.1 mm）时，啮合刚度较大，平均刚度为4.75×108 N/m。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.03.006.F022图22不同啮合位置的啮合刚度Fig. 22Meshing stiffness at different meshing positions4.3　重合度的影响为了研究重合度对啮合刚度的影响，通过调整齿顶高系数与齿根高系数来改变啮合线长度，从而改变端面重合度；而轴向重合度则通过调整齿宽改变。该分析结果排除了渐开线形状对啮合刚度的影响，仅考虑重合度对啮合刚度的影响。图23所示为不同重合度组合下的平均刚度。当端面重合度从1.2增加到1.8时，平均刚度有所增加；当轴向重合度从1.2增加到3时，平均刚度也有所增加；当端面重合度为1.8、轴向重合度为3时，平均刚度达到8.66×108 N/m。因此，增加重合度会使平均刚度增加。图24所示为不同重合度组合下，输入转矩为100 N·m时的传递误差峰峰值。当轴向重合度从1.2增大到3时，传递误差峰峰值趋势整体下降；当轴向重合度接近1.5或2.5时，传递误差峰峰值出现高峰。端面重合度从1.2增加到1.8，传递误差峰峰值趋势整体下降。当轴向重合度为1.5，端面重合度为1.5时，传递误差峰峰值最高达到2.69 μm。因此，在齿轮设计中应该尽量提高轴向重合度，并尽量避免使重合度接近0.5（2n-1），n∈N。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.03.006.F023图23不同重合度组合下平均刚度Fig. 23Average stiffness of combinations with different degrees of overlapping10.16578/j.issn.1004.2539.2023.03.006.F024图24不同重合度组合下传递误差Fig. 24TE under different degrees of combination5 结论在势能法的基础上，提出了一种斜齿轮啮合刚度修正算法。该方法考虑真实加工的齿根过渡曲线，该曲线是由刀具滚动展成运动时齿顶尖角所形成的轨迹线，并且渐开线的起始点是齿根过渡曲线与渐开线的交点。通过与有限元法的对比分析，验证了该修正算法的准确性，提升了斜齿轮啮合刚度的计算精度。分析研究了渐开线形状对啮合刚度以及传递误差峰峰值的影响，当压力角增大时，渐开线曲率半径会变大，从而提高了齿轮的端面刚度。同时，随着压力角的增加，端面重合度会先增大后减小。因此，由于端面刚度与端面重合度的综合影响，啮合刚度的平均刚度先增大再减小。传递误差峰峰值则受时变啮合刚度的影响，因此，传递误差峰峰值先减小后增大。分析研究了啮合位置对啮合刚度的影响，当啮合位置更靠近节点时，啮合刚度会提高。在齿轮设计中，选用啮合区间应尽量靠近节点。分析研究了端面重合度、轴向重合度对啮合刚度以及传递误差峰峰值的影响。增加重合度会使平均刚度增加，并且使传递误差峰峰值趋势整体下降。但当重合度接近0.5的奇数倍时，传递误差峰峰值会出现极大值。因此，在齿轮设计中应合理匹配齿轮参数，一方面应保证较大的重合度，使更多的齿同时参与啮合，从而增加平均刚度；同时，需要重合度尽量接近整数，确保传递误差峰峰值较小，从而提升齿轮系统NVH性能。