0 引言谐波减速器因具有传动平稳、定位精度高、传动比大、传动效率高等特点，在航空航天、光学仪器、工业机器人、通用机械等领域应用广泛[1]。柔性轴承作为谐波减速器的核心部件之一，其内、外圈长期承受周期性交变应力，容易失效。柔性轴承的疲劳寿命影响着整个谐波减速器，为保证谐波减速器可靠运行，有必要对柔性轴承的疲劳寿命及其力学特性进行深入研究。近年来，有部分学者针对柔性轴承的应力应变、疲劳寿命做了一定的研究。Ostapski W等[2-4]系统分析了柔性轴承的载荷分布和应力应变规律，但均只研究了单个轴承，未考虑柔轮对其力学特性的影响。向小青等[5]研究发现，一定范围内滚动体最大应力峰值会随着转速的增加而显著增大；张林川等[6]建立了1/4柔性轴承模型，对不同沟曲率半径系数的柔性轴承进行了静力学分析，发现柔性轴承内外圈最大等效应力随着沟曲率半径增大有增加趋势，但两者都只考虑了单一因素条件下的应力分析，不够准确。在疲劳寿命方面，潘雪娇等[7]基于L-P理论对装配应力下的柔性轴承疲劳寿命进行了理论计算，发现疲劳寿命与外部载荷呈负相关，但仅有理论计算，缺少相关仿真试验验证。由于柔性轴承模型较为复杂，目前大多数针对柔性轴承的有限元分析均采用静态方法，但柔性轴承的静态分析与瞬态分析存在一定差距，仅从静态方面分析是不准确的。因此，本文中建立了柔性轴承的多体接触模型，并对其进行了瞬态动力学分析；联合nCode-Designlife软件对其进行疲劳寿命评估，同时针对影响柔性轴承力学特性的3个因素：滚珠数、最大径向变形量、内外圈沟曲率半径，设计正交试验，分析了其对柔性轴承力学特性的影响。1 柔性轴承的载荷分布模型1.1　柔性轴承的结构参数柔性轴承作为谐波减速器的关键部件，与普通轴承的主要区别在于其内外圈的厚度较小，图1所示为其结构示意图。其传动原理：由于凸轮长轴和柔性轴承内圈为过盈配合，会迫使轴承内圈强制变形；内圈则将变形通过滚动体传递到外圈，迫使外圈产生相应的径向和轴向位移。整个外圈变形传递图1柔性轴承结构示意图Fig. 1Schematic diagram of flexible bearing structure10.16578/j.issn.1004.2539.2023.02.017.F1a1（a）轴承套圈变形示意图10.16578/j.issn.1004.2539.2023.02.017.F1a2（b）轴承各参数示意图给柔轮，柔轮在变形过程中，实现外轮齿与刚轮内轮齿啮合，从而传递运动和动力。本文以CSF-32-80型谐波减速器中的柔性轴承为例进行分析。其基本结构参数如表1所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.02.017.T001表1柔性轴承基本结构参数Tab. 1Basic structural parameters of flexible bearings柔性轴承主要参数数值柔性轴承主要参数数值轴承外径D0/mm79.7内圈壁厚h/mm2轴承内径di/mm59球数N23外圈宽度B/mm11.81球直径DB/mm7.144内圈宽度b/mm8.64内、外圈沟曲率半径系数fi /fo0.515外圈壁厚H/mm1.951.2　柔性轴承载荷分布模型由谐波减速器的工作原理[8]可知，刚轮和柔轮在长轴区域发生轮齿啮合，并呈对称分布。谐波减速器中载荷传递包含柔轮与刚轮间的啮合力和柔轮与柔性轴承之间的径向反力，而啮合力、啮合面积均与传递的转矩T相关。由啮合力分布试验[9]可以得到柔性轴承上承受的载荷分布，如图2所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.02.017.F002图2柔性轴承受载分布示意图Fig. 2Schematic diagram of flexible bearing load distributionqt=qtmaxcos[π(φ-φ3)/2φ1]qr=qttanα （1）qtmax=πT/(2φ1dg2br) （2）式中，T为谐波传动输出转矩；qt为周向分布载荷；qr为径向分布载荷；α为柔轮的轮齿啮合角；dg为柔轮轮齿分度圆直径；br为柔轮轮齿宽度。将相应的参数值代入式（1）、式（2），即可计算出周向和径向载荷的数值。2 柔性轴承有限元分析几何模型承载着大量物理信息，是有限元分析的主体。有限元分析的主要步骤：建立主体模型、定义材料属性、选择单元类型并划分单元网格、定义边界条件并施加约束、求解[10]等5步。2.1　有限元模型建立考虑到柔性轴承多体接触模型较为复杂，为了简化模型，提高有限元分析效率，做如下假设[11]：①轴承倒角、棱角和保持架对接触应力影响很小，忽略不计；②滚动体与内外沟道无初始几何间隙；③忽略润滑油膜对轴承的影响；④考虑材料的非线性影响，将几何模型材料设为非线性。基于SolidWorks三维软件建立谐波减速器多体接触模型。由于凸轮的外部为椭圆轮廓曲线，装配时为避免发生干涉[12]，故将凸轮沿短轴方向分割为两部分，分别将其向圆心移动ω0距离；后续有限元分析过程中，会对凸轮施加相应的位移，使其恢复原有的形状，模拟装配应力的效果。装配体的三维模型如图3所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.02.017.F003图3多体接触模型Fig. 3Multi-body contact model2.2　接触边界条件和载荷设置将模型导入Ansys Workbench建立柔性轴承多体接触有限元模型。柔性轴承材料设置为ZGCr15，密度为7 800 kg·m-3，弹性模量为2.06×1011 Pa，泊松比为0.3，抗拉极限强度为861.3 MPa。与轴承材料相比，凸轮材料弹性模量大，为减小计算量，设为刚体。内圈与凸轮采用刚柔接触，选择凸轮外表面为目标面，柔性轴承内表面为接触面，摩擦因数设置为0.12，柔性轴承内圈沟道和外圈沟道设置为接触面，滚珠设置为目标面，摩擦因数设置为0.15，采用增广拉格朗日算法，滚珠与内外圈法向接触刚度设置为0.05，内圈与凸轮的法向接触刚度设置为0.1。为了避免划分网格时局部点应力过大，同时保证整个计算过程的收敛性，对模型采用六面体网格的划分方法，如图4所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.02.017.F004图4柔性轴承有限元模型Fig. 4Finite element model of flexible bearings2.3　边界条件与载荷施加通过设置运动副的方式对分割后的凸轮施加约束。由于凸轮通过轴向转动以驱动柔性轴承运转，且后续分析中需要对凸轮施加径向位移以还原凸轮形状，故约束凸轮除径向位移及轴向转动以外的所有自由度。对柔轮的筒底施加固定约束。为方便施加载荷，将周向载荷qt转化为弯矩M，根据图2所示的加载方式，在不考虑偏载情况下，对柔性轴承长轴处施加径向载荷qr=5.91cos(4y)，y为受载荷区域的角度。径向载荷施加效果如图5所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.02.017.F005图5径向载荷施加图Fig. 5Radial load application diagram3 柔性轴承的力学特性及疲劳寿命结果分析3.1　力学特性分析柔性轴承运行过程中，内、外圈是其失效的主要部位。因此，以柔性轴承内、外圈为研究对象，进行瞬态动力学分析。图6所示为其应力云图，图7所示为其应变云图。由图6、图7可知，在受载情况下，柔性轴承的内外圈均承受较大的应力，内圈最大等效应力主要发生在长轴的外端面上，为483.03 MPa；外圈的最大等效应力发生在沟道与球接触区域，为426.84 MPa。柔性轴承的内圈等效应力比外圈等效应力约大11.6%。在运行过程中，内圈在长轴和短轴处产生最大变形，为0.595 mm；外圈是柔性轴承的从动件，受滚珠的压力而产生变形，最大变形量为0.636 mm。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.02.017.F006图6柔性轴承应力云图Fig. 6Nephograms of stress of flexible bearings（a）内圈 （b）外圈10.16578/j.issn.1004.2539.2023.02.017.F007图7柔性轴承应变云图Fig. 7Nephograms of deformation of flexible bearings（a）内圈 （b）外圈根据上述结果，选取内外圈沟道为分析对象，提取沟道路径处的等效应力和位移曲线，分别如图8、图9所示。由图8可知，内外圈的等效应力主要都集中在长轴（0°，180°）与短轴（90°，270°）的附近区域，并且在长轴受载区域15°范围内处，由于内外圈沟道与滚珠间的接触受载，导致出现应力激增的情况。由图9可知，沿径向方向的节点位移，内外圈的径向位移关于X轴对称分布，内圈的变化先于外圈。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.02.017.F008图8内、外圈滚道等效应力图Fig. 8Equal effect diagram of inner and outer race raceway10.16578/j.issn.1004.2539.2023.02.017.F009图9内、外圈径向位移图Fig. 9Radial displacement diagram of inner and outer ring raceway3.2　疲劳寿命分析本文中使用nCode-Designlife疲劳分析软件对柔性轴承进行寿命评估，疲劳寿命分析流程图如图10所示。根据轴承内外圈材料的弹性模量E和拉伸强度极限UTS，基于经验公式估算出材料的S-N曲线，其S-N曲线如图11所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.02.017.F010图10疲劳分析流程图Fig. 10Fatigue analysis flow chart10.16578/j.issn.1004.2539.2023.02.017.F011图11ZGCr15材料的S-N曲线Fig. 11S-N curve of ZGCr15 material载荷类型选择为Time Step，在Ansys Workbench中设置了两个载荷步，第1步将凸轮撑开模拟装配工况，第2步对凸轮施加转角模拟波发生器旋转1周的工况。载荷映射主要对应第2步，即波发生器旋转1周的时间。求解器设置，分析方法设置为Standard，将应力组合方法设置为SignedVonMises，平均应力修正方法设置为Goodman，载荷统计方法设置为雨流计数法。由图12可知，柔性轴承内圈主要在长轴区域受损严重，而外圈整个沟道都有损伤。考虑到内圈在凸轮转动1周的过程中仅发生1次变形，而外圈随着凸轮转动会受到周期性应力，分析符合实际情况。内、外圈疲劳较大的位置相应的疲劳寿命较小，内圈为6.42×106次，外圈为6.67×106次。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.02.017.F012图12柔性轴承疲劳寿命云图Fig. 12Fatigue life nephograms of flexible bearings（a）内圈 （b）外圈4 不同参数的正交试验4.1　正交试验设计柔性轴承各个参数的尺寸对其力学性能有着重要的影响，且轴承接触应力与轴承的疲劳寿命密切相关。本文中采用正交试验的方式，选取轴承的球数n、最大径向变形ω0和内外沟曲率半径系数fi/fo为试验因素。根据第3节中的有限元仿真结果可知，柔性轴承受载情况下，应力最大处主要集中在柔性轴承的内、外圈。相应位置的最大应力记为MisesT，MisesW，作为试验的两个指标。每个因素选择如表2所示的4种水平。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.02.017.T002表2正交试验因素水平表Tab. 2Orthogonal test factor level table编号nω0/mmfi/fo1210.30.512220.40.5153230.50.524240.60.525根据构造好的正交表，需进行16次试验，按照试验表分别进行模型的构建并且进行有限元仿真。正交试验结果如表3所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.02.017.T003表3正交试验表格及其分析结果Tab. 3Orthogonal experimental table and its analysis results编号nω0/mmfi/foMisesT/MPaMisesW/MPa1210.30.51453.71408.52210.40.515621.03449.63210.50.52842.6556.084210.60.5251 065603.975220.30.515452.17383.756220.40.51601.43456.147220.50.525860.371 192.18220.60.521 009.1743.789230.30.52483.03426.8410230.40.525659.9770311230.50.51748.07540.6112230.60.515926.07636.6913240.30.525528.7411.714240.40.52695.28460.8515240.50.515813.35531.716240.60.51914.44628.664.2　正交试验结果分析为了找出试验指标与因素变化的趋势与关系，采用极差分析法来分析试验结果。通过对表3中的仿真数据进行分析与处理，得到表4所示结果分析表和图13所示各因素与MisesT的关系、图14所示各因素与MisesW的关系。表4中，K1-K4，M1-M4分别为内、外圈在各因素水平下的试验结果平均值；R1、R2为对应的极差[13]。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.02.017.T004表4正交试验结果分析表Tab. 4Orthogonal test result analysis table编号nω0/mmfi/foK1745.585479.403679.413K2731.195644.423703.155K3704.285816.525757.503K4737.943978.653778.938M1504.538407.697508.478M2693.418517.398500.435M3576.785704.598546.888M4508.228653.275727.168R141.3499.2599.525R2188.88296.901226.73310.16578/j.issn.1004.2539.2023.02.017.F013图13各因素与MisesT的关系Fig. 13Relationship between various factors and MisesT10.16578/j.issn.1004.2539.2023.02.017.F014图14各因素与MisesW的关系Fig. 14Relationship between various factors and MisesW由表4可得到最优化参数组号为M1组，内外圈最大等效应力值均较小。由极差分析结果可知，最大径向变形量变化产生的柔性轴承内外圈应力变化最为显著，内外沟曲率半径系数次之，滚珠数相对较小。由图13、图14可知，内圈处的最大应力随着最大径向变形量增加而显著增大，最大应力随着沟曲率半径增大而缓慢增加，随滚珠数增加最大应力发生波动。外圈最大应力随着最大径向变形量和沟曲率半径系数增加而增大，后者趋势更加明显。一定范围内，外圈最大应力随滚珠数增加呈减小趋势。5 结论以CSF-32-80型谐波减速器中的柔性轴承为研究对象，基于Ansys Workbench对其进行了瞬态动力学分析，并联合nCode-Designlife软件，结合柔性轴承的内外圈材料的S-N曲线，对其进行了疲劳寿命评估。同时，针对影响柔性轴承力学性能的3个参数设计了正交试验，得出如下结论：（1）柔性轴承内圈疲劳寿命的薄弱区域位于长轴处外端面，外圈则在沟道处与滚珠接触区域。内圈主要受到长轴处滚珠和凸轮的接触应力，外圈整圈在沟道处都受到接触应力。（2）由正交试验结果可知，最大径向变形量对内、外圈的最大应力影响最为显著，滚珠数和内外沟曲率半径系数对外圈的影响水平相当，并且外圈的最大应力有随滚珠数增加而减小的趋势。因此，适当减小径向变形，并且在一定范围内控制滚珠数有助于减小柔性轴承内外圈最大等效应力，提高使用寿命，这一结论可为柔性轴承的结构最优化设计提供参考。