0 引言随着塑料工业技术的发展，齿轮的材料不再局限于金属，齿轮传动领域也逐渐出现了“以塑代钢”的概念[1]。蜗轮蜗杆传动机构被用于传递空间相互垂直而不相交两轴间的运动和力[2]，由于蜗轮的加工工艺较为复杂、加工的一致性不好而且加工成本较高，在传递载荷相对较小的情况下，便产生了用塑料斜齿轮代替金属蜗轮的传动方式[3]。但由于金属与塑料的材料性能差异较大，且塑料材料损伤形式复杂，塑料斜齿轮的疲劳寿命难以预测。所以，对塑料斜齿轮进行疲劳寿命分析具有较高的工程研究价值。国内外相关学者针对塑料齿轮的疲劳寿命进行了很多具有参考价值的研究。云永琥等[4]通过研究塑料直齿轮在动态啮合过程中的应力分布规律，分析得出了影响塑料齿轮使用寿命的原因。Zorko D等[5-6]研究了生物基聚合物材料在齿轮中的应用前景，得出相比于传统化石基聚合物，其使用寿命更长；同时通过分析当前塑料齿轮的研究现状，总结了塑料齿轮的失效模式，提出了MCF模型用于塑料齿轮设计制造。Iiienberger C M等[7]对PEEK塑料直齿轮的点蚀损伤拓展方向和由此产生的塑料齿轮失效形式进行了实验研究，并对该塑料齿轮疲劳寿命作出了评估。卢泽华等[8]研究了润滑和负载情况下聚甲醛齿轮的失效形式，指出油润滑情况下的失效形式主要是接触疲劳失效。以上研究都是对塑料材质的齿轮副进行的疲劳性能相关的研究，而对由金属材质与塑料材质混合使用的齿轮副寿命的相关研究文献较少见到。本文中以某传动机构中的金属蜗杆与塑料斜齿轮齿轮副为研究对象，在RecurDyn中建立该齿轮副的刚柔耦合模型并得到塑料斜齿轮的应力分布；在此基础上，基于应力时间历程寿命计算准则，对其进行了疲劳寿命的研究。图1所示为对应的疲劳寿命分析流程图。最后进行了疲劳台架实验，并将实验结果与仿真结果进行对比，验证了基于刚柔耦合动力学仿真对塑料斜齿轮疲劳寿命分析的准确性。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.01.018.F001图1疲劳寿命分析流程图Fig. 1Fatigue life analysis flowchart1 金属蜗杆与塑料斜齿轮分析模型的创建1.1　蜗杆斜齿轮传动啮合条件在蜗杆与蜗轮啮合传动时，蜗杆以端面模数为标准值，蜗杆的端面齿形是阿基米德螺旋线（也有渐开线或延长渐开线），而在蜗杆与圆柱斜齿轮啮合时，蜗杆以法面模数和法面齿形角为标准值，蜗杆线型是延长渐开线，并且蜗杆以法面参数为标准值是这类啮合的重要特点[9]。图2所示为蜗杆与斜齿轮的传动啮合简图。图中斜齿轮的法面周节为Pn2=πmn2，蜗杆法面周节Pn1=πmn1，当Pn1=Pn2时，它们才能正确啮合。因此，蜗杆斜齿轮传动机构的正确啮合条件：蜗杆与斜齿轮的法向模数、压力角相等，且计算时取法向几何参数为标准值；蜗杆分度圆导程角与斜齿轮分度圆螺旋角大小相等、方向相反；蜗杆与斜齿轮旋向相同。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.01.018.F002图2蜗杆与斜齿轮传动啮合简图Fig. 2Meshing diagram of worm and helical gear transmission1.2　金属蜗杆塑料斜齿轮传动模型由于交叉轴斜齿轮传动系统中金属蜗杆和塑料斜齿轮的材料不同，两种材料强度之间的差异较大，所以，要求设计时金属蜗杆和塑料斜齿轮齿厚的分布大小应该不一致。通过减小金属蜗杆的齿厚、增加塑料斜齿轮的齿厚的设计来满足传动过程中两者强度平衡的要求，即满足齿根、齿顶以及顶隙参数的设计要求，通过改变径向的变位系数来调整双方齿厚。一般只需要将分度圆处的塑料齿厚与金属蜗杆牙厚分配比为6∶4或7∶3，则基本可达到一种强度的平衡。另一方面，压力角可以减小到10°~15°之间，以增加传动的重合度[10]。这两种措施都将提高塑料齿轮的承载能力并减少塑料齿轮的变形。根据蜗杆斜齿轮的传动啮合条件及各项基本参数，在齿轮传动专用设计软件KISSsoft中建立蜗杆斜齿轮传动机构的三维模型，具体设计参数如表1所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.01.018.T001表1蜗杆斜齿轮设计参数Tab. 1Design parameters of worm helical gears参数蜗杆斜齿轮齿数139材料中碳钢POM100P法向模数/mm11法向压力角/（°）14.514.5螺旋角/旋向—9.297 4/R基圆直径/mm3.27938.230节圆直径/mm6.18139.519分度圆齿厚/mm0.852.180弹性模量/MPa2.1×1052.85×103抗拉强度/MPa60061屈服强度/MPa35571根据修形后的设计参数，所建立的蜗杆斜齿轮三维模型与实际的传动机构装配图如图3所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.01.018.F003图3蜗杆与塑料斜齿轮三维模型Fig. 3Three-dimensional model of worm and helical gears2 刚柔耦合动力学模型的建立2.1　动力学模型的建立首先，将KISSsoft软件中得到的蜗杆斜齿轮模型导入三维设计软件UG中进行适当简化，保留后续分析所关注的主要结构以提高仿真分析的效率。由表1可知，金属蜗杆抗拉强度远大于塑料斜齿轮抗拉强度。同时，为了分析斜齿轮的时变应力，将塑料斜齿轮转换为柔性体，建立斜齿轮的柔性体模型。在软件Hypermesh中对斜齿轮进行网格划分，如图4所示。将得到的网格模型导入仿真软件RecurDyn中，然后在RecurDyn内添加该传动机构实际的运动副和合理的接触约束参数来进行多体动力学仿真，其动力学模型如图5所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.01.018.F004图4斜齿轮网格模型图5蜗杆与斜齿轮动力学模型Fig. 4Helical gear mesh modelFig. 5Dynamic model of worm and helical gears2.2　刚柔耦合模型约束和接触的定义蜗杆斜齿轮动态接触模型的建立是对其进行动力学分析的前提，RecurDyn采用一种基于Hertz接触理论的改进算法来进行接触力的判定与计算。过程中假定两物体接触时产生了穿透，依据穿透量、接触刚度系数及接触阻尼系数来计算接触力[11]。接触产生法向接触力fn的计算公式为fn=kδm1+cδ˙|δ˙|δ˙m2δm3 （1）其接触力的计算模型如图6所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.01.018.F005图6RecurDyn接触力计算模型Fig. 6RecurDyn contact force calculation model式中，k为接触刚度系数；c为阻尼系数；δ为接触穿透深度；δ˙为接触穿透深度对时间的导数（接触点的相对速度）；m1、m2、m3分别为刚度指数、阻尼指数、凹痕指数。接触刚度系数k的大小与两接触材料的弹性模量E1、E2，蜗杆斜齿轮啮合点的曲率半径ρ1、ρ2以及泊松比μ1、μ2有关。其中，两接触物体的材料属性E和接触的曲率半径R的计算公式为1R=1ρ1+1ρ21E=1-μ12E1+1-μ22E2 （2）对于蜗杆斜齿轮传动机构，式（2）中的ρ1和ρ2为相互啮合的接触面在其啮合点处的曲率半径。但渐开线齿轮在正常传动过程中啮合点的位置时刻发生改变，其曲率半径也会改变。因此，计算过程中以蜗杆斜齿轮在分度圆上的啮合点作为参考点，根据材料属性E和接触半径R，可以推导出两物体接触的接触刚度系数k，其计算公式为k=43RE （3）由式（2）、式（3）计算得出蜗杆与斜齿轮之间的接触刚度为7.57×103 N/mm。在动力学分析中，另一个较为重要的参数为接触阻尼系数c，经过大量仿真模型调整验证，阻尼系数设为1.5 N∙s/mm，穿透深度为0.1 mm；摩擦力的定义与计算中，根据实际齿面接触润滑情况，静摩擦因数取0.13、动摩擦因数取0.09，接触形式选择几何面接触。2.3　动力学仿真参数的确定由前文建立好的动力学模型，仿真过程中不考虑金属蜗杆的变形，将其作为刚性体，施加额定转速；塑料斜齿轮施加反向转矩，模拟机构驱动过程中的负载，从而分析塑料斜齿轮传动过程中的动态特性。由实验测得驱动电机的额定转速为4 095 r/min，则蜗杆的计算角速度为ω1=2πn60=428.827 4 rad/s在进行动力学仿真分析时，为防止突然加载产生的跳变现象[12]而增加仿真计算过程的难度，将转速函数设为：STEP（TIME，0，0，0.1，428.827 4）。同时，根据实验测得该机构在输出端的负载为4.2 N·m，将转矩函数设为：-STEP（TIME，0，0，0.1，4 200），使负载在0.1 s内随转速升高而逐渐增大。3 仿真计算及结果分析3.1　动力学仿真结果通过仿真得到蜗杆斜齿轮机构接触力在时域内的变化情况，如图7所示。由图7可知，齿轮间接触力逐渐增加并在0.1 s后趋于稳定；同时，齿轮间动态接触力呈周期性变化。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.01.018.F006图7齿轮副接触力Fig. 7Gear pair contact forces由于塑料斜齿轮为柔性体，在传动过程中会发生弹性形变，造成啮合冲击较大，使得接触力曲线出现较大波动。通过计算，将得到的动态接触力均值与理论值进行比较，结果如表2所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.01.018.T002表2接触力理论值与仿真值对比Tab. 2Comparison of theoretical value and simulation value of contact forces名称圆周力径向力轴向力理论值/N216.3155.9436.59仿真值/N223.5558.7937.95误差/%3.244.853.58由表2中数据可知，利用理论公式求得的接触力的值与仿真值均值较为接近，误差小于5%，在可接受范围内，验证了建立的样机模型的合理性。该模型可用于后续接触强度的分析计算。3.2　齿面接触应力计算根据Hertz公式得到斜齿轮齿面接触应力为[13]σH=ZEFnKL0ρΣ （4）式中，Fn为啮合齿面上的法向载荷，N；K为载荷系数；L0为接触区域接触线总长，mm；ρΣ为接触点的当量曲率半径，mm；ZE为材料的弹性影响系数。将式（4）中的Fn换算成斜齿轮节圆直径d2与斜齿轮负载转矩T2的表达式，再将斜齿轮节圆直径d2、啮合线总长L0、接触点的当量曲率半径ρΣ换算为中心距a的函数，得到齿面接触疲劳强度的计算公式为σH=ZEZPT2Ka3 （5）式中，ZP为接触线长度与接触区域曲率半径对接触强度的影响系数，取为2.7；K为载荷系数，取为1。由式（5）计算得到塑料斜齿轮在给定载荷作用下的齿面接触应力的理论值为49.7 MPa。通过蜗杆斜齿轮的刚柔耦合动力学仿真分析，可以得到塑料斜齿轮啮合传动过程中的动态接触应力，其应力云图如图8所示，应力值最大为48.32 MPa。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.01.018.F007图8齿面接触应力云图Fig. 8Tooth surface contact stress nephogram经上述分析，刚柔耦合动力学仿真结果与斜齿轮齿面接触应力理论计算值接近，误差在5%以内，建模精度满足刚柔耦合动力学分析要求。该模型可以用于后续塑料斜齿轮疲劳耐久性研究。4 塑料斜齿轮疲劳寿命分析4.1　疲劳强度校核蜗杆斜齿轮传动机构的疲劳失效主要由循环载荷的作用造成，属于高周疲劳问题，工程上设计时就有必要先对其进行疲劳强度的校核。蜗杆斜齿轮塑料斜齿轮齿面许用应力的计算公式为σHP=σHLimNZRSHmin （6）式中，σHLimN为齿轮的齿面接触疲劳极限；SHmin为齿面接触强度的最小安全系数（取为1.3）；ZR为粗糙度系数（对于塑料齿轮，取为1）。经计算得σHP=54.6 MPa，而斜齿轮在负载工况下，仿真得到的最大接触应力值为σH=48.32 MPa，σHσHP，满足抗疲劳设计要求。4.2　疲劳仿真分析根据前文应力分析结果，塑料斜齿轮在额定载荷下所承受的应力小于材料的屈服极限，且齿轮的疲劳破坏属于高周疲劳问题，故采用名义应力法分析蜗杆斜齿轮机构的疲劳寿命[14]。本研究中蜗杆材料为中碳钢，塑料斜齿轮材料为POM。实验表明，疲劳破坏主要发生在塑料斜齿轮上，且主要的失效模式为接触疲劳失效。为了对塑料斜齿轮进行疲劳寿命分析，首先要确定塑料斜齿轮的S-N曲线。本文中引用德国塑料齿轮标准VDI 2736[15]中POM齿轮疲劳寿命与接触应力幅值关系，如表3所示，从而得到塑料斜齿轮接触特性曲线。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.01.018.T003表3VDI 2736中POM齿轮疲劳寿命与应力幅值关系Tab. 3Relationship between fatigue life and stress amplitude of POM gear in VDI 2736循环次数/次105106107108接触应力幅值/MPa95715034对于S-N曲线，一般用Basquin公式[16]表示，即σmN=C （7）式中，m、C均为与材料和应力比等相关的参数。对式（7）两边同时取对数，将应力值与循环次数转换为线性关系，则lgσ=a+blogN （8）根据VDI 2736得到接触应力幅值与循环次数的数据后，利用式（7）、式（8）进行转换，然后在这些独立数据点之间进行插值，得到材料的S-N曲线。式（8）中，a=lgC/m，b=-1/m。通过计算求得m=6.707、C=2.172×1018。基于式（7），采用软件Python运用最小二乘法拟合得到材料POM的S-N曲线，拟合优度为0.996 2，如图9所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.01.018.F008图9POM的材料S-N曲线Fig. 9Material S-N curve of POM将得到的S-N曲线以及塑料斜齿轮的应力结果作为疲劳分析的条件，设置塑料斜齿轮的材料疲劳属性，并选择基于应力的疲劳寿命计算准则和多轴疲劳算法。同时，将整个塑料斜齿轮作为疲劳计算的对象，利用Durability模块进行疲劳耐久性仿真分析。通过仿真分析得到的塑料斜齿轮的疲劳寿命云图如图10所示，疲劳寿命最低的区域为蜗杆与斜齿轮接触位置，表明塑料斜齿轮轮齿易发生接触疲劳失效且主要集中在磨损台阶处，这与蜗杆斜齿轮啮合方式相符合且与产品实际运行出现的失效模式一致。同时，将整个动力学仿真分析时间作为疲劳分析的单个加载周期，根据Palmgren-Miner线性损伤累计理论，经过换算可以得到塑料斜齿轮仿真的最低疲劳循环寿命次数为11 334周次。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.01.018.F009图10塑料斜齿轮疲劳寿命云图Fig. 10Fatigue life nephogram of helical gears4.3　疲劳台架实验图11所示为疲劳寿命测试平台，主要由磁滞制动器、工控箱组成。利用设计的夹具将齿轮箱固定，齿轮箱输出端连接磁滞制动器；由工控箱控制该传动机构的启停、间歇、载荷和循环周期，并显示当前的循环次数。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.01.018.F010图11疲劳寿命实验台架Fig. 11Fatigue life test bench根据该传动机构实际工作条件，定义1个寿命周期：载荷为4.2 N·m时正转432 s，然后停600 s（避免电机发热），总共循环10 000个周期。随机选择4组装配好的样机，对其进行疲劳寿命测试。由疲劳实验结果可知，4组样机里的塑料斜齿轮都在一定的加载周期后发生齿面接触疲劳失效，主要表现在金属蜗杆与塑料斜齿轮接触的台阶处。4组样机中塑料斜齿轮失效结果显微镜图如图12所示，对应的寿命周期分别为11 746、11 867、11 595、11 708周次。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.01.018.F011图12疲劳实验斜齿轮显微镜图Fig. 12Microscope image of helical gears in fatigue experiment将有限元仿真预测结果与实验结果作对比分析，分析结果如表4所示。10.16578/j.issn.1004.2539.2023.01.018.T004表4仿真结果与实验结果对比Tab. 4Comparison of simulation results and test results名称仿真结果/周次实验结果/周次误差/%1#11 33411 7463.62#11 33411 8674.73#11 33411 5952.34#11 33411 7083.3由表4可知，有限元仿真预测结果与实验结果值误差在5%以内，理论上在可接受范围，验证了所建立的塑料齿轮疲劳寿命分析模型的可行性。5 结论（1）采用刚柔耦合动力学分析，考虑了塑料斜齿轮在传动过程中发生的弹性形变，能够更为准确地描述机构中塑料斜齿轮的受力情况，且动力学仿真结果与理论值误差小于5%，为塑料斜齿轮疲劳寿命分析提供了较为真实可靠的载荷数据。（2）结合实验情况得出，在动态加载条件下塑料斜齿轮发生的疲劳失效模式，然后基于刚柔耦合动力学通过该仿真得出与理论计算相近的接触应力并用于塑料斜齿轮疲劳强度的校核。（3）实验结果表明，塑料斜齿轮与金属蜗杆传动机构的寿命与仿真预测寿命结果误差小于5%，该塑料齿轮疲劳寿命分析模型可应用于工程实际，其优点在于大幅缩短了产品的研发周期、降低了研发成本。